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QUESTIONS RÉSOLUES.

si, au contraire, dans la même équation $\mathrm {M=0,}$ on considère $x,y,z,$ comme fonctions de deux nouvelles variables $u$ et $v,$ ses deux dérivées du premier ordre seront

$(\mathrm {A'} )\quad {\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} x}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}+{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} y}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}+{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} z}}{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} u}}=0,$

$(\mathrm {B'} )\quad {\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} x}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}+{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} y}}{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}+{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} z}}{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} v}}=0,$

si maintenant, entre les quatre équations $\mathrm {(A),(B),(A'),(B')}$, on élimine deux quelconques des trois fonctions ${\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} x}},\;{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} y}},\;{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} z}},$ la troisième disparaîtra d’elle-même ; on obtiendra donc ainsi deux équations ne renfermant plus que ${\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}},\;{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}},\;{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}},\;{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}},\;{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} u}},\;{\tfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} v}},$ combinés avec $p$ et $q$, et qui donneront, pour ces deux coefficiens différentiels, les valeurs que nous leur avons déjà assignées.

Soit maintenant formé les équations du second ordre, sous l’un et sous l’autre point de vue. En considérant d’abord $z$ comme fonction de $x$ et $y$, les équations $\mathrm {(A)}$ et $\mathrm {(B)}$ donneront

${\begin{aligned}\mathrm {(C)} \quad &{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} z}}r+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} z^{2}}}p^{2}+2{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} z\mathrm {d} x}}p+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} x^{2}}}=0,\\\mathrm {(D)} \quad &{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} z}}s+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} z^{2}}}pq+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} z\mathrm {d} y}}p+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} z\mathrm {d} x}}q+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} x\mathrm {d} y}}=0,\\\mathrm {(E)} \quad &{\tfrac {\mathrm {dM} }{\mathrm {d} z}}t+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} z^{2}}}q^{2}+2{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} z\mathrm {d} y}}q+{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}M}{\mathrm {d} y^{2}}}=0~;\\\end{aligned}}$

considérant ensuite $x,y,z,$ comme fonctions de $u$ et $v,$ on déduira des équations $\mathrm {(A')}$ et $\mathrm {(B')}$