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QUESTIONS.

multipliant, enfin, ces deux dernières équations en croix, il viendra, en transposant,

${\tfrac {(a-c)(2y-b)-(b-d)(2x-a)}{2(cy-dx)}}\cdot \operatorname {log} .3+\operatorname {log} .{\tfrac {2(cy-dx)}{bc-ad}}=0$ ;

telle est alors l’équation de la courbe.

Voici une application de cette théorie. Soit $\mathrm {SP}$ et $\mathrm {SQ}$ (fig. 8) deux branches d’une même route qu’on veut raccorder par une ligne courbe, tangente à l’une et à l’autre ; soit $\mathrm {P'}$ et $\mathrm {Q'}$ les points indiqués comme points de contact de la courbe avec les deux branches de route ; soit pris $\mathrm {P'P=P'S}$ et $\mathrm {Q'Q=Q'S}$ ; si, ayant choisi arbitrairement deux nombres entiers $m>2$ et $n<{\tfrac {1}{2}}m,$ et considérant $\mathrm {SP}$ et $\mathrm {SQ}$ comme deux côtés d’un polygone, on opère comme il a été prescrit dans l’énoncé du problème qui vient d’être résolu, on obtiendra tant de points qu’on voudra de la courbe cherchée. La figure est construite pour le cas où l’on a $m=3$ et $n=1.$

M. Puissant a indiqué un autre procédé pour la résolution du même problème^[1] ; mais, outre que ce procédé n’est susceptible que d’une forme unique, la courbe de raccordement qu’il fournit fait nécessairement des jarets avec les deux branches de route ; ici, au contraire, elle leur est rigoureusement tangente ; et, en variant le rapport ${\tfrac {n}{m}}$, on a la faculté de faire plus ou moins approcher cette courbe du sommet de l’angle ; ce qui peut être utile, en permettant de varier la construction suivant les accidens et les obstacles que le terrain peut présenter. Au surplus, en faisant $m=4n,$ on obtient, par une autre voie, la courbe de raccordement de M. Puissant, avec cette différence que les points déterminés sont des points d’une parabole tangente aux deux côtés de l’angle.

1. Voyez Recueil de diverses propositions de géométrie, etc., 2.^e, édition, page 174. Voyez aussi Traité de topographie, etc., page 261.