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RÉSOLUES.

Pour parvenir à cette équation, soient considérés, $\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{k-1}{\text{ et }}\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{k-1}$, dans les équations ci-dessus, comme deux inconnues distinctes, on en tirera

${\begin{aligned}\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{k-1}&={\tfrac {2(cy-dx)}{bc-ad}},\\\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{k-1}&={\tfrac {(m-3n)\left[a(2y-d)-b(2x-c)\right]+2n(cy-dx)}{(m-2n)(bc-ad)}};\\\end{aligned}}$

en prenant les logarithmes des deux membres de ces deux équations, elles deviendront

${\begin{aligned}&(k-1)\operatorname {log} .\left({\tfrac {n}{m}}\right)&&=\operatorname {log} .{\tfrac {2(cy-dx)}{bc-ad}},\\&(k-1)\operatorname {log} .\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)&&=\operatorname {log} .{\tfrac {(m-3n)\left[a(2y-d)-b(2x-c)\right]+2n(cy-dx)}{(m-2n)(bc-ad)}}~;\\\end{aligned}}$

ce qui donnera, en multipliant en croix,

$(\mathrm {A} )\ \operatorname {log} .\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)\cdot \operatorname {log} .{\tfrac {2(cy-dx)}{bc-ad}}=$

$\operatorname {log} .\left({\tfrac {n}{m}}\right)\cdot \operatorname {log} .{\tfrac {(m-3n)\left[a(2y-d)-b(2x-c)\right]+2n(cy-dx)}{(m-2n)(bc-ad)}}$,

telle est l’équation de la courbe demandée.

Cette courbe est en général transcendante, mais elle peut devenir algébrique, dans des cas particuliers ; c’est ce qui arrive, par exemple, si $m=4n$ ; l’équation devient alors, en effet,

$\operatorname {log} .{\tfrac {1}{2}}\cdot \operatorname {log} .{\tfrac {2(cy-dx)}{bc-ad}}=2\operatorname {log} .{\tfrac {1}{2}}\cdot \operatorname {log} .{\tfrac {(a+c)(2y+b)-(b+d)(2x+a)}{2(bc-ad)}}$

en divisant par $\operatorname {log} .{\tfrac {1}{2}}$, cette équation peut être écrite ainsi

$\operatorname {log} .{\tfrac {2(cy-dx)}{bc-ad}}=\operatorname {log} .\left\{{\tfrac {(a+c)(2y+b)-(b+d)(2x+a)}{2(bc-ad)}}\right\}^{2}$ ;

ou, en passant aux nombres,

${\tfrac {2(cy-dx)}{bc-ad}}=\left\{{\tfrac {(a+c)(2y+b)-(b+d)(2x+a)}{2(bc-ad)}}\right\}^{2}$ ;

équation qui devient, toutes réductions faites,

$\left\{(b+d)x-(a+c)y\right\}^{2}=(bc-ad)\left\{(b-d)x-(a-c)y-{\tfrac {1}{4}}(bc-ad)\right\}~;$