Ces principes établis, la construction du problème proposé se réduit à ce qui suit :
Construction. Soit mené un diamètre du cercle donné, et soit divisé ce diamètre en autant de parties égales qu’on veut obtenir de portions de cercles égales à la fois en surface et en contour. Sur les distances des points de division à l’une des extrémités du diamètre, prises elles-mêmes pour diamètres, soient décris des demi-cercles, tous situés d’un même côté du diamètre divisé.
Soit fait la même opération de l’autre côté de ce diamètre, mais à partir de son autre extrémité, c’est-à-dire en sens inverse.
Il est d’abord clair que le cercle donné se trouvera partagé en autant de parties qu’on aura fait de divisions dans son diamètre, c’est-à-dire, en autant de parties qu’on s’était proposé d’en faire. De plus ; chacune des deux courbes qui termineront chaque partie, se trouvant être la somme de deux demi-circonférences également distantes des extrêmes, sera égale à la demi-circonférence du cercle donné, d’où il suit que le contour total de chaque partie sera égal à la circonférence même de ce cercle.
Enfin, chaque partie du cercle divisé étant la somme de deux différences de demi-cercles également distans des extrêmes, toutes ces parties seront égales en surface, ainsi qu’il était demandé.
L’inspection de la figure 6 où le cercle se trouve divisé, par ce procédé, en sept parties, égales à la fois en surface et en contour ; mettra cette construction dans tout son jour.
Le même procédé s’applique à la division d’un polygone régulier d’un nombre de côtés pair, à celle de l’ellipse et, en général, de toute courbe fermée et convexe, symétrique par rapport à une droite.
Il peut aussi être appliqué à la division du cercle en parties dont les surfaces soient entre elles dans des rapports donnés ; mais les contours de ces parties ne seront plus alors dans le rapport de leurs surfaces.
