cercles, concentriques au cercle donné, dont les rayons soient les distances de son centre aux points de division ; les couronnes circulaires terminées par deux circonférences voisines seront toutes égales en surface, mais elles ne le seront pas en contour.
Comme la surface d’un segment de cercle est la moitié du rectangle du rayon par l’excès de l’arc sur son sinus, la section d’un cercle en parties égales en surface, par des chordes parallèles entre elles, est un problème transcendant dont on ne peut obtenir la solution que par des voies de tâtonnement et d’approximation. Il est aisé de voir d’ailleurs que les parties d’un cercle ainsi divisé ne sauraient être égales en contour.
Il en irait absolument de même si l’on voulait diviser le cercle en parties égales par des chordes partant du même point de sa circonférence, ou par des droites partant d’un point intérieur autre que son centre.
La solution élémentaire du problème proposé paraît donc ne pouvoir reposer que sur les seules considérations suivantes :
1.o Les circonférences des cercles (et partant aussi leurs demi-circonférences) croissent comme leurs rayons. Si donc les rayons d’une suite de cercles suivent une progression arithmétique, leurs demi-circonférences suivront aussi une progression arithmétique, et conséquemment la somme de deux demi-circonférences, également distantes des extrêmes, sera une quantité constante et égale à la somme des demi-circonférences extrêmes.
2.o Les surfaces des cercles (et partant aussi celles des demi-cercles) croissent comme les quarrés de leurs rayons. Si donc les rayons d’une suite de cercles croissent comme les nombres naturels, les différences consécutives des aires de ces cercles (et partant aussi celles des aires des moitiés de ces cercles) suivront la progression arithmétique des nombres impairs. Ainsi les sommes des différences également distantes du plus petit demi-cercle et de la différence des deux plus grands, seront une quantité constante et égale à cette différence des deux plus grands demi-cercles, augmentée du plus petit.
