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DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ.

ce qui, en procédant comme en l’art. 26, donnera, en premier lieu,

$\mathrm {A+B+C>180^{\circ }}$;

on aura ensuite, comme dans le triangle rectiligne, $\mathrm {A+B+C} <3\cdot 180^{\circ }$.

Ce qui prouve, comme nous l’avons annoncé, que, dans le triangle sphérique, la somme des trois angles n’est pas une quantité constante, comme dans le triangle rectiligne.

29, Lorsqu’un problème est indéterminé ou plus qu’indéterminé, il est évident qu’on en peut lever l’indétermination, en se donnant à volonté, une ou plusieurs inconnues.

Mais, en même temps, il faut avoir soin de prendre, pour les connues, des quantités qui satisfassent aux relations qu’on sait devoir alors subsister entre elles.

30. Appliquons ces principes à la résolution des équations ci-dessus

$x=bz+cy,\quad y=cx+az,\quad z=ay+bx$.

En supposant le problème indéterminé, il faut qu’on ait, comme nous l’avons dit ( art. 23 )

$1-a^{2}-b^{2}-c^{2}-2abc=0$,

équation qui, en supposant a et b quelconque, donne

$c=-ab\pm {\sqrt {(1-a^{2})(1-b^{2})}}$ ;

d’où l’on voit que, a et b étant donnés, c ne peut plus être pris arbitrairement.

Ces deux valeurs de $c$ peuvent être également admises en général ; mais si l’on suppose que $a,b,c,$ soient les cosinus des trois angles d’un triangle rectiligne, comme nous l’avons fait jusqu’ici, le signe inférieur du radical devra être rejeté, puisqu’il donnerait $\operatorname {Cos} .\mathrm {C} =-\operatorname {Cos} .\mathrm {(A-B)}$, au lieu de $\operatorname {Cos} \mathrm {C} =-\operatorname {Cos} .\mathrm {(A+B)}$ que l’on doit avoir ; nous ne prendrons donc simplement que

$c=-ab+{\sqrt {(1-a^{2})(1-b^{2})}}$ ;

31. Puisque $c$ est donné par une fonction irrationnelle de $a$ et $b,$ supposés quelconques, on peut s’imposer la loi de ne prendre pour