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et, par suite,

$\operatorname {Sin} .\mathrm {(A\pm B)} =\operatorname {Sin} .\mathrm {A} \;\operatorname {Cos} .\mathrm {B} \pm \operatorname {Cos} .\mathrm {A} \;\operatorname {Sin} .\mathrm {B}$.

27. En étendant la remarque qui termine Part. 25, il est aisé de sentir qu’en général, toutes les fois que la solution d’un problème dépend d’un nombre déterminé de données indépendantes les unes des autres, si l’on choisit des données telles qu’il y ait entre elles une ou plusieurs relations nécessaires, le problème demeurera indéterminé, puisqu’on sera dans le même cas que si l’on avait moins de données que ne le comporte la nature du problème.

Ainsi, parce que la somme des trois angles de tout triangle rectiligne est une quantité connue et constante, lorsqu’on donne ces trois angles, on n’en donne réellement que deux, et le triangle demeure indéterminé. Au contraire, cette somme étant variable, dans le triangle sphérique, ses trois angles lorsqu’ils sont connus, sont trois données indépendantes qui rendent ce triangle absolument déterminé.

28. En conservant les mêmes notations que ci-dessus, on a, pour le triangle sphérique, ainsi que je l’ai démontré, dans ma Trigonomètrie sphérique analitique,

$1-\operatorname {Cos} .^{2}\mathrm {A} -\operatorname {Cos} .^{2}\mathrm {B} -\operatorname {Cos} .^{2}\mathrm {C} -2\operatorname {Cos} .\mathrm {A} \;\operatorname {Cos} .\mathrm {B} \;\operatorname {Cos} .\mathrm {C}$

$=\operatorname {Sin} .^{2}z\;\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {A} \;\operatorname {Sin} ^{2}\mathrm {B}$^[1]

et, comme on a évidemment

$\operatorname {Sin} .^{2}z\;\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {A} \;\operatorname {Sin} ^{2}\mathrm {B} >0$ ;

on aura, semblablement,

$\mathrm {1-\operatorname {Cos} .^{2}A-\operatorname {Cos} .^{2}B-\operatorname {Cos} .^{2}C-2\operatorname {Cos} .A\;\operatorname {Cos} .B\;\operatorname {Cos} .C>0}$

1. On a en effet, ( Voyez page 103 de ce volume ),
   $1-\operatorname {Cos} .^{2}x-\operatorname {Cos} .^{2}y-\operatorname {Cos} .^{2}z+2\operatorname {Cos} .x\;\operatorname {Cos} .y\;\operatorname {Cos} .z$
   $=\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {C} \;\operatorname {Sin} .^{2}x\;\operatorname {Sin} .^{2}y$

   ce qui, en passant au triangle polaire ou supplémentaire, donne l’équation ci-dessus.