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CARACTÈRES D’INDÉTERMINATION.

opposés, et alors les équations ($\mathrm {T}$) seront des équations de relation entre les uns et les autres.

25. Mais il ne faut pas perdre de vue, art. 22, que tout cela est subordonné à la condition.

$1-a^{2}-b^{2}-c^{2}-2abc=0$ ;

laquelle devient, dans le cas actuel,

$\mathrm {1-\operatorname {Cos} .^{2}A-\operatorname {Cos} .^{2}B-\operatorname {Cos} .^{2}C-2\operatorname {Cos} .A\;\operatorname {Cos} .B\;\operatorname {Cos} .C=0}$ ;

il importe donc de s’assurer que cette condition se vérifie pour le triangle rectiligne ; et il faut bien qu’elle se vérifie en effet, puisqu’autrement les équations $\mathrm {(T)}$ donneraient uniquement $x=0,y=0,z=0$ ; ce qui reviendrait à dire que, dans tout triangle, les trois côtés sont nécessairement nuls.

Or, cette condition peut être mise successivement sous les diverses formes que voici ; ${\begin{aligned}\mathrm {(1-\operatorname {Cos} .^{2}A)(1-\operatorname {Cos} .^{2}B)} &=\mathrm {(\operatorname {Cos} .C+\operatorname {Cos} .A\;\operatorname {Cos} .B)^{2}} ,\\\mathrm {\mp \operatorname {Sin} .A\;\operatorname {Sin} .B} &=\operatorname {Cos} .\mathrm {C} +\operatorname {Cos} .A\;\operatorname {Cos} .\mathrm {B} ,\\\mathrm {-(\operatorname {Cos} .A\;\operatorname {Cos} .B\pm \operatorname {Sin} .A\;\operatorname {Sin} .B)} &=\operatorname {Cos} .\mathrm {C} ,\\\operatorname {Cos} .\mathrm {C} &=-\operatorname {Cos} .(\mathrm {A\mp B)} .\\\end{aligned}}$

Cette dernière équation ne peut être prise avec le signe supérieur ; car, en supposant $\mathrm {B=A,}$ elle deviendrait $\operatorname {Cos} .\mathrm {C} =-\operatorname {Cos} .0=-1$ ; d’où l’on tire en général $\mathrm {C} =(2k+1)180^{\circ }$, $2k+1$ étant un nombre impair positif quelconque ; mais on a $\mathrm {C} <180^{\circ }$, on devrait donc avoir $2k+1<1$, tandis qu’il n’y a point de nombre impair positif plus petit que'l’unité ; on doit donc avoir simplement

$\operatorname {Cos} .\mathrm {C} =-\operatorname {Cos} .\mathrm {(A+B)}$.

De cette dernière équation on tire, en général,

$\mathrm {C} =(2k+1)180^{\circ }-\mathrm {(A+B)}$,

ou

$\mathrm {A+B+C} =(2k+1)180^{\circ }$ ;