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FORMULES.

ANALISE INDÉTERMINÉE.

Recherche systématique des formules les plus propres
à calculer les logarithmes ;

Par M. Thomas Lavernède.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

I. On sait que, $u$ et $t$ représentant deux nombres quelconques, et $u$ étant plus grand que $t$, on a

$\operatorname {Log} {\tfrac {u}{t}}=2M\left\{{\tfrac {u-t}{u+t}}+{\tfrac {1}{3}}\left({\tfrac {u-t}{u+t}}\right)^{3}+{\tfrac {1}{5}}\left({\tfrac {u-t}{u+t}}\right)^{5}+{\tfrac {1}{7}}\left({\tfrac {u-t}{u+t}}\right)^{7}+etc.\right\}\ldots \mathrm {(A)}$

formule toujours convergente, et dans laquelle $M$ représente le module.^[1]

2. Si, dans cette formule, on met à la place de $u$ et $t$ des polynômes en $x$ du degré $m$ qui, ne différant entre eux que par leur dernier terme, soient décomposables en facteurs rationnels du premier degré, ayant tous $x$ pour premier terme ; c’est-à-dire, si l’on fait

$u=x^{m}+Px^{m-1}+\ldots +Rx+S=(x+a)(x+b)\ldots (x+l),$

et

$t=x^{m}+Px^{m-1}+\ldots +Rx+\Sigma =(x+\alpha )(x+\beta )\ldots (x+\lambda ),$

on aura

$u-t=S-\Sigma$,

1. Voyez le complément d’algèbre de M. Lacroix.