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RECTANGLES.

mens de l’hypothénuse, comme le quarré du rayon est au produit des cosinus de ces segmens.

Tout étant comme précédemment,

J’affirme que $\operatorname {Sin} .^{2}h:\operatorname {Sin} .\mathrm {B'} \operatorname {Sin} .\mathrm {C'} =1:\operatorname {Cos} .\mathrm {B'} CoS.\mathrm {C'}$.

Démonstration.

Par le (Théorème II) $\operatorname {Sin} .^{2}\mathrm {B} :\operatorname {Sin} .\mathrm {A} \;\operatorname {Sin} .\mathrm {B'} =1:\operatorname {Cos} .\mathrm {C'} ;$

${\begin{array}{lrl}{\text{mais }}&\operatorname {Sin} .\mathrm {B} :\operatorname {Sin} .\mathrm {A} &=\operatorname {Sin} .b:1,\\{\text{d’où }}&\operatorname {Sin} .\mathrm {B} :\operatorname {Sin} .b:\operatorname {Sin} .\mathrm {B'} &=1:\operatorname {Cos} .\mathrm {C'} ;\\{\text{et pareillement }}&\operatorname {Sin} .\mathrm {C} \;\operatorname {Sin} .c:\operatorname {Sin} .\mathrm {C'} &=1:\operatorname {Cos} .\mathrm {B'} ;\\\end{array}}$

donc $\qquad \operatorname {Sin} .\mathrm {B} \;\operatorname {Sin} .c\;\operatorname {Sin} .\mathrm {C} \;\operatorname {Sin} .b:\operatorname {Sin} .\mathrm {B'} \;\operatorname {Sin} .\mathrm {C'}$

$=1:\operatorname {Cos} .\mathrm {B'} \operatorname {Cos} .\mathrm {C'} ;$

or$\qquad \qquad \quad \operatorname {Sin} .\mathrm {B} \;\operatorname {Sin} .c=\operatorname {Sin} .\mathrm {C} \;\operatorname {Sin} .b=\operatorname {Sin} .h;$

donc, enfin,$\quad \operatorname {Sin} .^{2}h:\operatorname {Sin} .\mathrm {B'\operatorname {Sin} .C'} =1:\operatorname {Cos} .\mathrm {B'} \operatorname {Cos} .\mathrm {C'} .$

$\mathrm {C.\,Q.\,F.\,D.}$

Corollaire. La proposition correspondante sur les triangles rectilignes s’obtient, en substituant aux sinus de la hauteur et des segmens, ces quantités elles-mêmes, et en substituant l’unité à chacun des cosinus des segmens.

THÉORÈME V. Dans tout triangle sphérique rectangle, le sinus de l’hypothénuse, les sinus des côtés et le sinus de la hauteur, sont en proportion géométrique.

Tout étant comme précédemment,

J’affirme que $\mathrm {\operatorname {Sin} .A:\operatorname {Sin} .B=\operatorname {Sin} .C} :\operatorname {Sin} .h$,

Démonstration.

${\begin{array}{lrl}{\text{on a }}&\qquad \qquad \operatorname {Sin} .\mathrm {A} :\operatorname {Sin} .\mathrm {B} &=1:\operatorname {Sin} .b,\\{\text{et }}&\qquad \qquad \quad \operatorname {Sin} .\mathrm {C} :\operatorname {Sin} .h&=1:\operatorname {Sin} .b;\\{\text{donc }}&\qquad \qquad \operatorname {Sin} .\mathrm {A} :\operatorname {Sin} .\mathrm {B} &=\operatorname {Sin} .\mathrm {C} :\operatorname {Sin} .h.\\\end{array}}$

$\mathrm {C.\,Q.\,F.\,D.}$

Corollaire. La proposition correspondante, sur les triangles rectilignes, s’obtient en substituant aux sinus les quantités elles-mêmes.