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QUESTIONS.

§. I.

LEMME. Dans tout triangle, la base est à la hauteur, le produit du sinus de l’angle au sommet par le sinus total est au produit des sinus des angles à la base.

${\begin{aligned}16\mathrm {T} ^{2}&=(c+c'+c'')(c+c'-c'')(c'+c''-c)(c''+c-c'),\\2\mathrm {T} &=r(c+c'+c''),\\4\mathrm {RT} &=cc'c'';\\\end{aligned}}$

des deux dernières équations on tire d’abord ;

${\frac {cc'c''}{c+c'+c''}}=2r\mathrm {R}$ ;

comparant ensuite le quarré de la troisième à la première, on aura :

${\frac {c^{2}c'^{2}c''^{2}}{(c+c'+c'')(c+c'-c'')(c'+c''+c)(c''+c-c')}}=\mathrm {R} ^{2}$ ;

et partant,

$\mathrm {D={\sqrt {R^{2}-2rR}}}$,

ou

$\mathrm {D^{2}=R(R-2r)}$,

équation qui n’est que la traduction, analitique du théorème de M. Lhuilier, et qui est aussi celle de M. Kramp.

Ces sortes de rencontres, qui n’ôtent rien au surplus au mérite personnel de chaque inventeur, ne sauraient être fort rares dans les sciences exactes, où l’on marche constamment dans la voie de la vérité ; c’est ainsi que M. Mahieu, vers l’époque déjà indiquée, trouva le théorème suivant, auquel M, Lhuilier est aussi parvenu de son côté, ( voyez ses Élémens d’analise géométrique et d’analise algébrique ; Genève 1809, pag. 224 ) :

« Si l’on désigne par $r,r',r'',r'''$, les rayons des quatre cercles qui peuvent toucher à la fois les trois côtés d’un même triangle, considérés comme des droites indéfinies, et par $\mathrm {T}$ l’aire de ce triangle, on aura $\mathrm {T} ={\sqrt {rr'r''r'''}}$. »

(Note des éditeurs.)