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DES CORPS.

l’on demande, pour la seconde situation du même arc, les coordonnées de celle de ses extrémités qui, dans le mouvement, a changé de situation ?

Soit c la longueur de l’arc dont il s’agit ; soit $\mathrm {A}$ l’extrémité de cet arc autour de laquelle le mouvement a eu lieu, et soit désigné par la même lettre l’angle sphérique décrit ; soit de plus $\mathrm {B}$ l’autre extrémité du même arc dans sa situation primitive, et $\mathrm {C}$ le point où elle parvient par suite du changement qui arrive dans sa position ; soit enfin $a$ l’arc de grand cercle qui joint les points $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ .

En conservant les mêmes notations que ci-dessus, pour rendre applicables au cas actuel les formules générales déjà trouvées, il faudra d’abord y faire $b=c$ , ce qui donnera :

\mathrm {M} =\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .^{2}c.

\mathrm {N} =\operatorname {Cos} .c(1-\operatorname {Cos} .a).

\mathrm {T} =\operatorname {Sin} .b.\operatorname {Sin} .c.\operatorname {Sin} .\mathrm {A} =\operatorname {Sin} ^{2}c.\operatorname {Sin} .\mathrm {A} .

Il faudra ensuite, à la place du côté a, introduire l’angle opposé $\mathrm {A}$ ; c’est à quoi l’on parviendra au moyen de la formule : $1-\operatorname {Cos} .a=\operatorname {Sin} .^{2}c(1-\operatorname {Cos} .\mathrm {A} )$ ^[1] ; mais, comme on s’est permis de supposer $\operatorname {Sin} .\mathrm {A} =\mathrm {A}$ et $\operatorname {Cos} .\mathrm {A} =1,$ il en résultera $1-\operatorname {Cos} .a=0,$ d’où on conclura ;

\mathrm {M} =\operatorname {Sin} .^{2}c\,;\quad \mathrm {N} =0\,;\quad \mathrm {T} =\mathrm {A} .\operatorname {Sin} .^{2}c;

ce qui donnera finalement :

x=p'+(qr'-rq')\mathrm {A} ;

y=q'+(rp'-pr')\mathrm {A} ;

z=r'+(pq'-qp')\mathrm {A} .

↑ Cette formule n’est autre chose que ce que devient l’équation fondamentale : $\operatorname {Sin} .b.\operatorname {Sin} .c.\operatorname {Cos} .\mathrm {A} =\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .b.\operatorname {Cos} .c$ , dans le cas particulier où $b=c$ .
(Note des éditeurs.)

[1] Cette formule n’est autre chose que ce que devient l’équation fondamentale : $\operatorname {Sin} .b.\operatorname {Sin} .c.\operatorname {Cos} .\mathrm {A} =\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .b.\operatorname {Cos} .c$ , dans le cas particulier où $b=c$ .
(Note des éditeurs.)

[1]