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et le moment magnétique total est dans cette direction

$\mathrm {M} _{z}=\sum e\mathrm {A} _{z}={\frac {e}{2}}\sum \left(\xi {\frac {d\eta }{dt}}-\eta {\frac {d\xi }{dt}}\right).$

Cherchons la variation de ce moment magnétique en fonction du temps :

${\frac {d\mathrm {M} _{z}}{dt}}={\frac {e}{2}}\sum \left(\xi {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}-\eta {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}\right).$

Si $\mathrm {E} _{x},\,\mathrm {E} _{y},\,\mathrm {E} _{z},\,\mathrm {H} _{x},\,\mathrm {H} _{y},\,\mathrm {H} _{z},$ sont les composantes des champs électrique et magnétique dus à des causes extérieures. à l’élément de volume, on aura pour le mouvement de cet électron les équations

${\begin{aligned}m{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=&\mathrm {X} +e\mathrm {E} _{x}+e\mathrm {H} _{z}(v+{\frac {dy}{dt}})\\&-e\mathrm {H} _{y}\left(w+{\frac {dz}{dt}}\right)-m{\frac {d^{2}a}{dt^{2}}}-m{\frac {du}{dt}},\\m{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}=&\mathrm {Y} +e\mathrm {E} _{y}+e\mathrm {H} _{x}(w+{\frac {dz}{dt}})\\&-e\mathrm {H} _{z}\left(u+{\frac {dx}{dt}}\right)-m{\frac {d^{2}b}{dt^{2}}}-m{\frac {dv}{dt}}.\end{aligned}}$

Les champs extérieurs varieront lentement dans l’étendue de l’élément de volume, et l’on pourra se contenter de conserver les termes du premier degré dans leur développement en série de Taylor à partir de l’origine des coordonnées. Par exemple

$\mathrm {E} _{x}=\mathrm {E} _{0x}+x\left({\frac {\partial \mathrm {E} _{x}}{\partial x}}\right)_{0}+y\left({\frac {\partial \mathrm {E} _{x}}{\partial y}}\right)_{0}+z\left({\frac {\partial \mathrm {E} _{x}}{\partial z}}\right)_{0}.$

Calculant ${\frac {d\mathrm {M} _{z}}{dt}}$ en tenant compte des sommes nulles indiquées plus haut, qui sont nulles à chaque instant, il reste en posant

$\left({\frac {d\mathrm {M} _{z}}{dt}}\right)_{0}={\frac {e}{2m}}\sum (\xi y-\eta x)$

pour le terme qui représente la variation du moment ma-