Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.16

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars et Fils, 1893 (2, p. 202-227).

CHAPITRE XVI.

MÉTHODES DE M. GYLDÉN.

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167.Les méthodes dont je vais maintenant parler présentent un grand caractère d’originalité ; la plupart se rattachent, malgré les apparences contraires, aux méthodes qui ont été exposées dans les Chapitres précédents, mais quelques-unes les dépassent et permettent d’aborder des problèmes auxquels les procédés des Chapitres IX et XV ne sont plus applicables ; elles ont ainsi plus de parenté avec les méthodes dont il sera question plus loin.

Bien entendu, le mode d’exposition que j’emploierai sera très différent de celui de M. Gyldén.

Les méthodes de M. Gyldén sont, en effet, un composé de plusieurs artifices qui n’ont les uns avec les autres aucun lien nécessaire et qu’il vaut mieux étudier séparément, quitte à en faire ensuite la synthèse, ce que le lecteur pourra faire sans aucune peine.

Le premier de ces artifices est l’emploi d’une variable indépendante particulière.

Supposons d’abord que les trois corps se meuvent dans un même plan. Considérons dans ce plan le mouvement de l’une des planètes qui sera soumise à l’action d’un corps central dont nous prendrons la position pour origine et à l’action perturbatrice d’une autre planète.

Soient $r$ et $v$ les coordonnées polaires de la planète considérée, $\mu$ la masse du corps central, $\Omega$ la fonction perturbatrice. Les équations du mouvement seront

(1)

${\begin{aligned}{\frac {d\left(r^{2}{\dfrac {dv}{dt}}\right)}{dt}}&={\frac {d\Omega }{dv}},&{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-r\left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}+{\frac {\mu }{r^{2}}}&={\frac {d\Omega }{dr}}\cdot \end{aligned}}$

Dans le cas où $\Omega =0,$ le mouvement, devient képlérien ; la première des équations (1) s’intègre immédiatement et donne ($c$ étant une constante)

(2)

$r^{2}{\frac {dv}{dt}}={\sqrt {c}}.$

Si ensuite on prend $v$ pour variable indépendante et qu’on pose $r=-{\frac {1}{u}},$ la seconde équation (1) devient

(3)

${\frac {d^{2}u}{dv^{2}}}+u+{\frac {\mu }{c}}=0,$

ce qui met immédiatement en évidence la forme elliptique de la trajectoire.

Revenons au cas général où $\Omega$ n’est pas nul. M. Gyldén s’est proposé alors d’adopter une variable indépendante telle que les équations du mouvement prennent une forme analogue à celle des équations (2) et (3).

Pour cela posons

(4)

${\frac {dv_{0}}{dt}}={\frac {\sqrt {c_{0}}}{r^{2}}},$

$c_{0}$ étant une nouvelle constante.

Si nous prenons $v_{0}$ pour variable indépendante, la première équation (1) deviendra

(5)

${\frac {d^{2}v}{dv_{0}^{2}}}={\frac {r^{2}}{c_{0}}}{\frac {d\Omega }{dv}}$

et la seconde équation (1) deviendra, en posant encore $r=-{\frac {1}{u}},$

${\frac {d^{2}u}{dv_{0}^{2}}}+u\left({\frac {dv}{dv_{0}}}\right)^{2}+{\frac {\mu }{c_{0}}}={\frac {r^{2}}{c_{0}}}{\frac {d\Omega }{dr}}\cdot$

L’analogie avec l’équation (3) sera encore plus évidente si l’on observe que, dans les calculs qui vont suivre, $v$ différera très peu de $v_{0}$ et si, faisant passer dans le second membre un terme très petit qui sera du même ordre de grandeur que $\Omega ,$ on écrit

(6)

${\frac {d^{2}u}{dv_{0}^{2}}}+u+{\frac {\mu }{c_{0}}}={\frac {r^{2}}{c_{0}}}{\frac {d\Omega }{dr}}+u\left[1-\left({\frac {dv}{dv_{0}}}\right)^{2}\right].$

Le choix de la variable $v_{0},$ tout en présentant des avantages évidents, n’est pas non plus sans inconvénient.

En effet, le Problème des trois Corps se présente sous deux formes bien différentes suivant que l’on a affaire à deux planètes dont les masses sont comparables, ou, au contraire, si l’une des deux est beaucoup plus petite que l’autre.

Dans le premier cas, il faudrait rapporter l’une des planètes à la variable indépendante $v_{0}$ et l’autre à la variable indépendante $v_{0}',$ analogue mais différente et définie par l’équation

${\frac {dv_{0}'}{dt}}={\frac {\sqrt {c_{0}'}}{r'^{2}}},$

$r'$ étant le rayon vecteur de la seconde planète.

Ce serait là une source de complications ; aussi la méthode de M. Gyldén sous sa forme primitive est-elle plutôt faite pour le second cas, par exemple, pour l’étude des perturbations des petites planètes par Jupiter.

Mais ici encore il y a des difficultés.

Le mouvement de Jupiter est connu, mais il l’est en fonction de $t$ et non pas de $v_{0}\,;$ pour passer de l’expression en fonction de $t$ à l’expression en fonction de $v_{0},$ il faut y remplacer $t$ par sa valeur en fonction de $v_{0}$ tirée de l’équation (4). Cette expression de $t$ en fonction de $v_{0}$ variera à chaque approximation ; il faudra donc à chaque fois corriger les coordonnées de Jupiter. Ces inconvénients sont en partie compensés par des avantages importants. Un autre inconvénient, c’est que nos équations ont perdu la forme des équations de Lagrange ; mais nous ne tarderons pas à la retrouver.

168.Voici maintenant sous quelle forme se présentent les équations du mouvement.

Les coordonnées $u$ et $v$ de la première planète sont exprimées en fonctions de $v_{0}$ par les équations (5) et (6), dont les premiers membres ont la forme simple

${\frac {d^{2}v}{dv_{0}^{2}}}\quad$ et $\quad {\frac {d^{2}u}{dv_{0}^{2}}}+u+{\frac {\mu }{c_{0}}},$

et dont les seconds membres dépendent non seulement de $u$ et de $v,$ mais des coordonnées correspondantes $u'$ et $v'$ de la planète troublante.

La variable $v_{0}$ sera liée à $t$ par l’équation (4).

Les coordonnées $u'$ et $v'$ de la deuxième planète seront de même exprimées en fonctions d’une variable nouvelle $v_{0}',$ par des équations (5′) et (6′) analogues à (5) et à (6).

La variable $v_{0}'$ sera de son côté définie en fonction de $t,$ par une équation (4′) analogue à (4).

Supposons maintenant que l’on veuille appliquer à ces équations des procédés analogues à ceux des anciennes méthodes de la Mécanique céleste, voici ce que l’on ferait : Imaginons que l’on connaisse des valeurs approchées de $u$ et de $v,$ de $u'$ et de $v'$ tant en fonctions de $v_{0}$ qu’en fonctions de $v_{0}'.$

Dans le second membre de (5) ou de (6), substituons à la place de $u,$ $v,$ $u'$ et $v'$ leurs valeurs approchées en fonctions de $v_{0}\,;$ les seconds membres deviennent des fonctions connues de $v_{0},$ et nos équations sont faciles à intégrer par quadrature.

Nous posséderons ainsi des valeurs plus approchées de $u$ et de $v$ en fonctions de $v_{0}.$

Opérons de même sur (5′) et (6′), nous obtiendrons des valeurs plus approchées de $u'$ et de $v'$ en fonctions de $v_{0}'.$

L’équation (4) nous donnera ensuite par quadrature $t$ en fonction de $v_{0};$ et l’équation (4′) nous donnera $t$ en fonction de $v_{0}'\,;$ et, par conséquent, en rapprochant ces deux résultats l’un de l’autre, on aura $v_{0}$ en fonction de $v_{0}'$ et inversement.

Nous pourrons alors exprimer d’une manière plus approchée $u$ et $v$ en fonctions de $v_{0}',$ ou $u'$ et $v'$ en fonctions de $v_{0}.$ Possédant maintenant des valeurs plus approchées de $u,$ $v,$ $u',$ $v'$ tant en fonctions de $v_{0}$ qu’en fonctions de $v_{0}',$ nous pourrons opérer avec cette seconde approximation comme nous avons opéré avec la première, et ainsi de suite.

Il reste à choisir la première approximation ; or nous cherchons pour le moment à nous rendre compte de ce qu’auraient fait des calculateurs pénétrés de l’esprit des anciennes méthodes, afin de mieux comprendre les perfectionnements qu’y a cru devoir introduire M. Gyldén. Il est clair alors que le choix le plus conforme à cet esprit, c’est celui qui consiste à prendre pour première approximation le mouvement képlérien.

On trouve ainsi

${\begin{aligned}v&=v_{0},&u&=-{\frac {\mu }{c_{0}}}+\alpha \,\cos v_{0}+\beta \,\sin v_{0},\\v'&=v_{0}',&u'&=-{\frac {\mu '}{c_{0}'}}+\alpha '\cos v_{0}'+\beta '\sin v_{0}',\end{aligned}}$

$\alpha ,\,\beta ,\,\alpha '$ et $\beta '$ étant des constantes d’intégration.

Quant à la relation entre $v_{0}$ et $v_{0}',$ elle a une forme compliquée. Il vient

${\frac {dv_{0}}{u^{2}{\sqrt {c_{0}}}}}={\frac {dv_{0}'}{u'^{2}{\sqrt {c_{0}'}}}},$

équation que l’on peut intégrer par quadratures. On en tirera ensuite $v_{0}'$ en fonction de $v_{0}\,;$ si l’on développe $v_{0}'$ suivant les puissances croissantes des constantes $\alpha ,$ $\beta ,$ $\alpha '$ et $\beta ',$ qui sont généralement très petites, le premier terme du développement, celui qui est indépendant de ces quatre constantes, se réduit à une fonction linéaire de $v_{0}.$

La relation entre $v_{0}'$ et $v_{0}$ est donc compliquée dès la première approximation. C’est là une difficulté un peu artificielle et d’un genre tout nouveau ; elle tient d’ailleurs au choix des variables indépendantes et elle ne disparaîtra pas quand je quitterai les procédés inspirés des méthodes anciennes, pour les méthodes proprement dites de M. Gyldén.

Nous n’avons rien rencontré de pareil dans l’étude des méthodes de M. Newcomb ; mais il ne faut toutefois pas s’exagérer l’importance de ce fait. Le développement de la fonction perturbatrice exigera toujours de longs calculs ; cependant, on l’obtiendra plus vite en fonction des anomalies vraies qu’en fonction des anomalies moyennes. Dans la méthode de M. Newcomb, nous avons supposé la fonction perturbatrice exprimée à l’aide des éléments osculateurs des deux planètes et de leurs anomalies moyennes. Pour l’obtenir ainsi, il aurait fallu de longs efforts, mais dès qu’on la possède tous les obstacles sont aplanis. Ici, au contraire, nous avons exprimé $\Omega$ en fonction de $u,$ $v,$ $u'$ et $v',$ ce qui est incomparablement plus facile. Mais la difficulté que nous avions ainsi écartée pour un moment devait forcément reparaître. La relation compliquée qui lie $v_{0}$ à $v_{0}'$ est la première forme sous laquelle nous la rencontrons. L’ennui est de recommencer à chaque approximation et de s’y reprendre à plusieurs fois.

Voyons maintenant quel est l’écueil que l’on a à redouter quand on emploie ces procédés imités des méthodes anciennes, et quels sont les artifices qu’a employés M. Gyldén pour l’éviter.

Les équations (5) et (6), quand on y a remplacé dans les seconds membres $u,$ $v,$ $u'$ et $v'$ en fonctions de $v_{0},$ deviennent des équations linéaires à second membre et sont faciles à intégrer.

À la première approximation, ces seconds membres se présenteront sous la forme de séries trigonométriques dont les termes dépendront des sinus et des cosinus de

$\left(n+mk\right)v_{0},$

où $n$ et $m$ sont des entiers et $k$ le rapport des moyens mouvements. Si le second membre de (5) ne contenait pas de terme connu, ou si celui de (6) ne contenait pas de terme en $\sin v_{0}$ ou en $\cos v_{0},$ les valeurs de $u$ et de $v$ tirées de (5) et de (6) seraient encore de même forme. Mais les seconds membres de (5) et de (6) contiennent précisément des termes tout connus, des termes en $\sin v_{0}$ et $\cos v_{0},$ et il résultera dans l’expression de $v$ un terme en

$v_{0}^{2}$

et dans celle de $u$ des termes en

$v_{0}\cos v_{0}\quad$ et $\quad v_{0}\sin v_{0},$

où la variable indépendante $v_{0}$ sortira des signes trigonométriques.

Aux approximations suivantes, il est clair qu’on trouverait en dehors de ces signes des puissances plus élevées encore de $v_{0}.$ Ainsi, comme il était aisé de le prévoir, l’emploi de la variable $v_{0}$ n’a rien changé au caractère essentiel des anciennes méthodes, et c’est à un autre artifice qu’il faut avoir recours si l’on veut éviter que la variable sorte des signes trigonométriques.

Le seul avantage du choix de $v_{0},$ à côté des inconvénients que nous avons signalés, est donc d’avoir donné aux équations la forme linéaire.

169.Pour éviter les termes séculaires, c’est-à-dire ceux où $v_{0}$ n’est pas sous un signe sinus ou cosinus, M. Gyldén a donc dû imaginer un artifice nouveau.

Considérons l’une des équations (5) ou (6) ; faisons passer dans le premier membre celui ou ceux des termes du second membre dont l’influence paraît devoir être la plus grande. Remplaçons dans le second membre $u,$ $v,$ $u'$ et $v'$ par leurs valeurs approchées de telle façon que les quantités inconnues $u,$ $v,$ $u'$ et $v'$ ne figurent plus que dans le premier membre ; nous obtiendrons ainsi de nouvelles équations que des artifices nouveaux nous permettront d’intégrer.

Cela comporte évidemment un assez grand degré d’arbitraire ; on peut, en effet, suivant les cas, porter son attention sur tel ou tel terme et le faire passer dans le premier membre. De là, la souplesse de la méthode. Bien qu’on puisse, pour ainsi dire, la varier à l’infini, je vais énumérer ici les formes d’équations que M. Gyldén a le plus envisagées.

Soient $u_{1},\,v_{1},\,u_{1}',\,v_{1}'$ des valeurs approchées de $u,$ $v,$ $u'$ et $v'\,;$ posons

${\begin{aligned}u&=u_{1}+\rho ,&v&=v_{1}+\chi ,&u'&=u_{1}'+\rho ',&v'&=v_{1}'+\chi '.\end{aligned}}$

La quantité $\rho$ sera celle que M. Gyldén appelle l’évection, et la quantité $\chi$ s’appellera la variation ; on se contente ordinairement de prendre

${\begin{aligned}v_{1}&=v_{0}\,;&v&=v_{0}+\chi .\end{aligned}}$

Avec ces nouvelles inconnues, les équations (5) et (6) prennent la forme suivante

(5 bis)

${\frac {d^{2}\chi }{dv_{0}^{2}}}=\mathrm {A} ,$

(6 bis)

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho =\mathrm {B} ,$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des fonctions développées suivant les puissances croissantes de $\rho ,$ $\rho ',$ $\chi$ et $\chi '$ et, en outre, du moins en ce qui concerne $\mathrm {B} ,$ suivant celles de ${\frac {d\chi }{dv_{0}}}\,;$ les coefficients des développements seront des fonctions connues de $v_{0}.$ Nous ferons ensuite passer dans le premier membre quelques-uns des termes de $\mathrm {A}$ et de $\mathrm {B} ,$ et, conservant les inconnues $\rho$ et $\chi$ dans le premier membre, nous remplacerons au contraire dans le second membre et pour une première approximation ces quantités par zéro.

La fonction $\mathrm {B}$ contiendra, entre autres termes remarquables, des termes de la forme

$\mathrm {C} \rho ^{n},\quad \mathrm {C} \rho \sin(\lambda v_{0}+k),$

$\mathrm {C} ,\,\lambda$ et $k$ étant des constantes.

1^o Si nous faisons passer dans le premier membre de (6 bis) le second de ces termes, nous trouvons

(6 a)

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho \left[1-\mathrm {C} \sin(\lambda v_{0}+k)\right]=\mathrm {B} ',$

$\mathrm {B} '$ étant ce que devient $\mathrm {B}$ quand on en retranche le terme qu’on a fait ainsi passer dans le premier membre.

Dans $\mathrm {B} ',$ nous ferons ensuite

$\rho =\chi =\rho '=\chi '=0.$

L’équation (6 a) sera encore une équation linéaire à second membre ; mais ce ne sera plus une équation à coefficients constants.

Il est clair maintenant que nous pouvons tout aussi bien écrire, $\alpha$ et $\beta$ étant deux quantités très petites quelconques,

(6 b)

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho \left[(1+\alpha )-\mathrm {C} (1+\beta )\sin(\lambda v_{0}+k)\right]=\mathrm {B} '',$

où

$\beta ''=\mathrm {B} '+\alpha \rho +\mathrm {C} \beta \rho \sin(\lambda v_{0}+k)$

et où, d’ailleurs, on aura finalement, en première approximation,

$\mathrm {B} ''=\mathrm {B} '=\mathrm {B} ,$

puisque l’on convient d’annuler $\rho ,$ $\rho ',$ $\chi$ et $\chi '$ dans le second membre.

On pourra ensuite profiter de diverses manières de l’indétermination de $\alpha$ et de $\beta .$

2^o On peut aussi faire passer dans le premier membre un terme en $\rho ^{3}$ et écrire

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho -\mathrm {C} \rho ^{2}=\mathrm {B} -\mathrm {C} \rho ^{3}$

ou

(6 c)

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho (1+\alpha )-\mathrm {C} \rho ^{3}=\mathrm {B} +\alpha \rho -\mathrm {C} \rho ^{3},$

et faire ensuite

$\rho =\chi =0$

dans le second membre.

3^o Il est clair que $\mathrm {A}$ sera une fonction développable suivant les sinus et cosinus des multiples de $v$ et de $v'.$ Soit alors

$\mathrm {C} \sin(mv+nv'+k)$

un terme de $\mathrm {A} \,;$ $m$ et $n$ sont des entiers et $k$ une constante. Remplaçons-y $v$ par $v_{1}+\chi$ et $v'$ par sa valeur approchée $v_{1}',$ exprimée en fonction de $v_{0},$ nous aurons évidemment

${\begin{aligned}v_{1}&=v_{0}+\varphi ,\\v_{1}'&=\mu v_{0}+\varphi ',\end{aligned}}$

$\varphi$ et $\varphi '$ étant des séries développées suivant les sinus et cosinus des multiples de $v_{0}$ et de $\mu v_{0}$ et $\mu$ étant le rapport des moyens mouvements. Les termes complémentaires $\varphi$ et $\varphi '$ seront d’ailleurs beaucoup plus petits que les termes principaux $v_{0}$ et $\mu v_{0}.$

Alors l’expression

$\mathrm {C} \sin(mv_{1}+nv_{1}'+k)$

pourra également se développer en une série ordonnée suivant les lignes trigonométriques des multiples de $v_{0}$ et de $\mu v_{0},$ et le terme principal du développement sera

$\mathrm {C} \sin(mv_{0}+n\mu v_{0}+k).$

De même, si dans l’expression

$\mathrm {C} \sin(mv+nv_{1}'+k),$

nous remplaçons $v$ et $v_{1}'$ par

$v_{0}+\chi +\varphi \quad$ et $\quad \mu v_{0}+\varphi ',$

cette expression sera développable suivant les lignes trigonométriques des multiples de

$v_{0},\quad v_{0}+\chi \quad$ et $\quad \mu v_{0}$

et le terme principal du développement sera

$\mathrm {C} \sin(mv_{0}+n\mu v_{0}+m\chi +k).$

C’est ce terme que nous ferons passer dans le premier membre de l’équation (5), qui s’écrira alors

(5 a)

${\frac {d^{2}\chi }{dv_{0}^{2}}}-\mathrm {C} \sin(mv_{0}+n\mu v_{0}+m\chi +k)=\mathrm {A} '$

où

$\mathrm {A} '=\mathrm {A} -\mathrm {C} \sin(mv_{0}+n\mu v_{0}+m\chi +k).$

Dans $\mathrm {A} '$ on fera ensuite

$\rho =\chi =\rho '=\chi '=0,$

de telle façon que $\mathrm {A} '$ puisse être regardé comme une fonction

connue de $v_{0}.$

Le plus souvent on se contentera de prendre

${\begin{aligned}v_{1}&=v_{0},&v_{1}'&=\mu v_{0}\end{aligned}}$

et l’exposition du procédé précédent s’en trouvera un peu simplifiée.

Les équations (6 b), (6 c) et (5 a) sont celles dont M. Gyldén fait le plus souvent usage.

Observons qu’elles sont toutes de la forme suivante

(α)

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}=f(\rho ,v_{0})$

ou

(β)

${\frac {d^{2}\chi }{dv_{0}^{2}}}=f(\chi ,v_{0})$

Elles sont donc susceptibles d’être ramenées à la forme canonique d’après ce qu’on a vu au Tome 1, page 12 [équation (3) du n^o 2].

Nous avons supposé que dans les seconds membres de nos équations nous faisions

$\rho =\chi =\rho '=\chi '=0.$

C’est en effet ce que l’on fait à la première approximation. Mais à la seconde approximation il faut, dans ces seconds membres, remplacer ces quantités $\rho ,$ $\chi ,$ $\rho '$ et $\chi '$ par leurs valeurs déduites de la première approximation et ainsi de suite.

Ces seconds membres seront donc ainsi toujours des fonctions connues de $v_{0}$ et les équations conserveront la même forme.

Réduction des équations.

170.Les équations (5 a), (6 b), (6 c) sont du deuxième ordre ; cela tient à ce que nous avons eu soin de ne faire passer dans le premier membre de (5) que des termes dépendant seulement de $\chi$ et dans le premier membre de (6) que des termes dépendant seulement de $\rho .$

Quand on a fait ensuite dans le second membre

$\rho =\chi =\rho '=\chi '=0,$

l’équation (5) ne contient plus qu’une seule inconnue $\chi$ et l’équation (6) n’en contient non plus qu’une seule qui est $\rho .$

Mais cela peut ne pas être toujours légitime. Il peut arriver que dans le second membre de (5), par exemple, certains termes dépendant de $\rho$ soient aussi importants que les termes les plus influents dépendant de $\chi$ et qu’il faille également le faire passer dans le premier membre.

De même pour l’équation (6). Quand alors on aura annulé les $\rho$ et les $\chi$ dans les seconds membres, les deux équations (5) et (6) contiendront encore les deux inconnues $\rho$ et $\chi$ et, après l’élimination de l’une d’entre elles, l’équation résultante sera non plus du deuxième, mais du quatrième ordre.

L’ordre serait même encore plus élevé si l’on avait été forcé de faire passer dans le premier membre des termes dépendant de $\rho '$ et de $\chi '.$

Dans ces cas, M. Gyldén emploie, pour ramener les équations au deuxième ordre, un procédé dont je voudrais faire comprendre l’esprit.

Considérons d’abord une équation du quatrième ordre, par exemple, et de la forme suivante

(1)

$\;\;{\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}+\rho =\alpha \left(\mathrm {A} +\mathrm {B} _{4}\,{\frac {d^{4}\rho }{dv^{4}}}+\mathrm {B} _{3}\,{\frac {d^{3}\rho }{dv^{3}}}+\mathrm {B} _{2}\,{\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}+\mathrm {B} _{1}\,{\frac {d\rho }{dv}}+\mathrm {B} _{0}\rho \right),$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des fonctions connues de $v$ que je supposerai finies et $\alpha$ un coefficient très petit.

L’équation nous montre d’abord que, si les valeurs initiales de $\rho$ et de ${\frac {d\rho }{dv}}$ sont de l’ordre de $\alpha ,$ ce que nous supposerons, $\rho$ restera de l’ordre de $\alpha .$

Si nous négligions donc les termes de l’ordre de $\alpha ^{2},$ nous pourrions écrire

${\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}+\rho =\alpha \mathrm {A}$

et l’équation serait ramenée au second ordre.

Mais nous voulons tenir compte des termes de l’ordre de $\alpha ^{2},$ en négligeant ceux de l’ordre de $\alpha ^{3}.$ Il vient, avec ce degré d’approximation,

(2)

$\left\{{\begin{aligned}\alpha \,{\frac {d^{4}\rho }{dv^{4}}}&=-\alpha \,{\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}+\alpha ^{2}{\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dv^{2}}},\\\alpha \,{\frac {d^{3}\rho }{dv^{3}}}&=-\alpha \,{\frac {d\rho }{dv}}+\alpha ^{2}{\frac {d\mathrm {A} }{dv}},\\\mathrm {A} \,{\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}&=-\alpha \rho +\alpha ^{2}\mathrm {A} .\end{aligned}}\right.$

J’arrive à ce résultat, en multipliant l’équation (1) par $\alpha$ et y négligeant les termes qui sont devenus de l’ordre de $\alpha ^{3}$ par cette multiplication.

L’équation (1) devient alors

(3)

${\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}+\rho =\alpha \mathrm {C} +\alpha \mathrm {D} {\frac {d\rho }{dv}}+\alpha \mathrm {E} \rho ,$

où

${\begin{aligned}\mathrm {C} &=\mathrm {A} +\mathrm {B} _{4}\left({\frac {d^{2}\mathrm {A} }{dv^{2}}}-\mathrm {A} \right)+\mathrm {B} _{3}{\frac {d\mathrm {A} }{dv}}+\mathrm {B} _{2}\mathrm {A} ,\\\mathrm {D} &=\mathrm {B} _{1}-\mathrm {B} _{3},\\\mathrm {E} &=\mathrm {B} _{4}-\mathrm {B} _{2}+\mathrm {B} _{0}.\end{aligned}}$

L’équation est redevenue du second ordre.

L’équation (3) est vraie aux quantités près du troisième ordre, je veux dire de l’ordre de $\alpha ^{3}.$ On aura donc, aux quantités près du quatrième ordre,

(4)

$\alpha \,{\frac {d^{2+i}\rho }{dv^{2+i}}}=-\alpha \,{\frac {d^{i}\rho }{dv^{i}}}+\alpha ^{2}{\frac {d^{i}}{dv^{i}}}\left(\mathrm {C} +\mathrm {D} \,{\frac {d\rho }{dv}}+\mathrm {E} \,{\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}\right)\cdot$

Si alors on remplace dans le second membre de (1)

$\alpha \,{\frac {d^{4}\rho }{dv^{4}}},\quad \alpha \,{\frac {d^{3}\rho }{dv^{3}}},\quad \alpha \,{\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}$

par leurs valeurs (4), on obtiendra une équation qui sera vraie aux quantités près du quatrième ordre, et qui sera du second ordre.

Et ainsi de suite.

Il est clair que la même méthode est applicable à toute équation de la forme

(5)

${\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}+f_{1}=\alpha f_{2},$

{{SA|$\alpha$ étant un coefficient très petit ; $f_{1}$ étant développable suivant les puissances de $\rho$ et de ${\frac {d\rho }{dv}},$ et $f_{2}$ suivant les puissances de

$\rho ,\quad {\frac {d\rho }{dv}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d^{n-1}\rho }{dv^{n-1}}},\quad {\frac {d^{n}\rho }{dv^{n}}}\cdot$

L’équation (5) n’est donc plus linéaire ; mais la seule différence qui peut en résulter, c’est qu’il y aura des termes qui seront de degré supérieur par rapport à $\rho$ et à ses dérivées, et qu’il n’y aura lieu d’en tenir compte qu’à partir de la seconde et de la troisième approximation.

171.Considérons maintenant l’équation suivante

(6)

${\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}+\rho =\alpha \left(\mathrm {A} +\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv\right),$

$\alpha$ étant encore un très petit nombre, $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ des fonctions connues de $v.$ Cette équation, si on la différentiait pour faire disparaître le signe $\textstyle \int ,$ deviendrait du troisième ordre. Mais M. Gyldén la réduit au second ordre, en profitant de la petitesse du nombre $\alpha$ et en employant un procédé analogue dans son esprit à celui que nous venons d’appliquer à des exemples plus simples.

En effet, $\rho$ et $\alpha$ sont du premier ordre, de sorte que le terme

$\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv$

peut être regardé comme du second ordre. Ou aura alors, en négligeant les quantités du troisième ordre,

$\alpha \,{\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}+\alpha \rho =\alpha ^{2}\mathrm {A} ,$

d’où

(7)

$\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv=\alpha ^{2}\mathrm {B} \int \mathrm {AC} \,dv-\alpha \,\mathrm {B} \int {\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}\,\mathrm {C} \,dv,$

et en intégrant par parties et appelant $\mathrm {C} '$ et $\mathrm {C} ''$ les dérivées de $\mathrm {C}$ par rapport à $v$

$\int {\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}\,\mathrm {C} \,dv=\mathrm {C} \,{\frac {d\rho }{dv}}-\mathrm {C} '\rho +\int \rho \,\mathrm {C} ''\,dv.$

En général, la quadrature $\textstyle \int \mathrm {AC} \,dv$ pourra s’effectuer aisément, de sorte que

$\mathrm {B} \int \mathrm {AC} \,dv=\mathrm {D}$

pourra être regardé comme une fonction connue de $v$ et que l’intégrale $\textstyle \int \rho \,\mathrm {C} \,dv$ sera ramenée à l’intégrale $\textstyle \int \rho \,\mathrm {C} ''$ qui est de même forme.

En général, dans les exemples que M. Gyldén a eu à traiter, $\mathrm {C}$ est de la forme

$\mathrm {C} =\beta \sin(\lambda v+\mu ),$

$\beta ,\,\lambda$ et $\mu$ étant des constantes. Il en résulte que

$\mathrm {C} ''=-\lambda ^{2}\mathrm {C} ,$

d’où

$\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv=\alpha ^{2}\mathrm {D} -\alpha \,\mathrm {BC} \,{\frac {d\rho }{dv}}+\alpha \,\mathrm {BC} '\rho +\lambda ^{2}\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv,$

d’où

(8)

$\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv={\frac {\alpha ^{2}\mathrm {D} }{1-\lambda ^{2}}}-{\frac {\alpha \,\mathrm {BC} }{1-\lambda ^{2}}}{\frac {d\rho }{dv}}+{\frac {\alpha \,\mathrm {BC} '}{1-\lambda ^{2}}}\rho \cdot$

Si dans l’équation (6) nous remplaçons

$\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv$

par sa valeur (8), ce qui peut se faire en négligeant les quantités du troisième ordre, l’équation est ramenée au deuxième ordre.

Si $\mathrm {C}$ est une somme de termes de la forme

$\beta \sin(\lambda v+\mu ),$

l’expression

$\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv$

sera une somme de termes de la forme

$\alpha \beta \,\mathrm {B} \int \rho \sin(\lambda v+\mu )\,dv,$

et chacun de ces termes pourra être transformé par une formule analogue à (8). L’équation (6) sera ainsi encore ramenée au deuxième ordre.

L’équation (7) n’est vraie qu’aux quantités près du troisième ordre. Si l’on ne veut pas négliger ces quantités, il faut écrire

$\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv=\alpha ^{2}\mathrm {D} -\alpha \,\mathrm {B} \int {\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}\,\mathrm {C} \,dv+\alpha ^{2}\sigma$

en posant, pour abréger,

$\sigma =\mathrm {B} \int dv\left(\mathrm {CB} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv\right).$

On en déduit, en supposant de nouveau que $\mathrm {C}$ se réduit à un seul terme,

$\mathrm {C} =\beta \sin(\lambda v+\mu ),$

on en déduit, dis-je,

$\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv={\frac {\alpha ^{2}\mathrm {D} }{1-\lambda ^{2}}}-{\frac {\alpha \,\mathrm {BC} }{1-\lambda ^{2}}}{\frac {d\sigma }{dv}}+{\frac {\alpha \,\mathrm {BC} '}{1-\lambda ^{2}}}\rho +{\frac {\alpha ^{2}\sigma }{1-\lambda ^{2}}},$

de sorte que l’équation (6) deviendra, en faisant passer certains termes dans le premier membre,

${\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}+\rho \left(1-{\frac {\alpha \,\mathrm {BC} '}{1-\lambda ^{2}}}\right)+{\frac {d\rho }{dv}}{\frac {\alpha \,\mathrm {BC} }{1-\lambda ^{2}}}=\alpha \,\mathrm {A} +{\frac {\alpha ^{2}\mathrm {D} }{1-\lambda ^{2}}}+{\frac {\alpha ^{2}\sigma }{1-\lambda ^{2}}}\cdot$

On ne conservera pas, en général, dans le premier membre tous les termes que nous y avons fait passer, mais seulement les plus importants d’entre eux. Si nous faisons repasser les autres dans le deuxième membre, nous obtiendrons une équation de la forme

(9)

${\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}+\mathrm {E} \,{\frac {d\rho }{dv}}+\mathrm {F} \,\rho =\mathrm {G} +\mathrm {H} \,\rho +\mathrm {K} \,{\frac {d\rho }{dv}}+\mathrm {L} \,\sigma ,$

$\mathrm {E,\,F,\,G,\,H,\,K,\,L}$ étant des fonctions connues de $v.$

Cela nous permettra d’opérer comme il suit. Faisons d’abord dans le deuxième membre $p=\sigma =0\,;$ nous aurons alors une équation linéaire à deuxième membre que nous intégrerons et qui nous donnera une première valeur approchée de $\rho$ et, par conséquent, de $\sigma \,;$ nous substituerons ces valeurs dans le deuxième membre et nous obtiendrons une nouvelle équation linéaire à deuxième membre qui nous donnera une deuxième approximation pour $\rho$ et $\sigma ,$ et ainsi de suite.

Il est clair que nous pourrions opérer encore de même si l’équation (6) n’était pas linéaire et contenait, par exemple, des puissances supérieures de $\rho \,;$ il en résulterait seulement que le deuxième membre de (9) contiendrait des termes de la forme

$\mathrm {B} \,\rho ^{n}\quad$ et $\quad \mathrm {B} \int \mathrm {C} \,\rho ^{n}\,dv,$

$\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ étant des fonctions connues de $v$ $(n>1).$ Dans ces termes, qui sont d’ordre $n+1$ au moins par rapport à $\alpha ,$ on peut, sans inconvénient, comme dans les autres termes du deuxième membre de (9), remplacer $\rho$ par 0 d’abord, puis par sa première valeur approchée, puis par la seconde et ainsi de suite.

Pour qu’il y ait intérêt à appliquer cette méthode, il faut que $\lambda$ soit très voisin de 1, de telle sorte que l’expression

${\frac {\alpha }{1-\lambda ^{2}}}$

soit petite sans doute, mais beaucoup moins que $\alpha .$ On conçoit alors que les divers termes du deuxième membre de (8) soient assez grands pour n’être pas négligés même dans la première approximation.

Autrement il serait plus simple de laisser le terme

$\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv$

dans le second membre et d’y donner à $\rho$ d’abord la valeur zéro, puis ses diverses valeurs approchées.

On n’aura donc le plus souvent à faire passer dans le premier membre qu’un petit nombre de termes (et même le plus souvent un seul terme) de la forme

$\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \beta \sin(\lambda v+\mu )\,dv.$

La méthode de réduction au deuxième ordre que je viens d’exposer n’est avantageuse que si $\mathrm {A}$ ne contient aucun terme en $\sin \lambda v$ ou $\cos \lambda v.$ Sans cela l’intégrale

$\int \mathrm {AC} \,dv$

contiendrait un terme en $v$ et dans l’expression de $\mathrm {D}$ la variable $v$ sortirait des signes trigonométriques.

Cette circonstance ne s’est pas présentée dans les applications que M. Gyldén a faites de sa méthode ; mais il y a toujours moyen de l’éviter.

Écrivons en effet l’équation (6) sous la forme

(6 bis)

${\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}+\rho -\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv=\alpha \,\mathrm {A} .$

Nous avons jusqu’ici regardé $\mathrm {A}$ comme une fonction connue de $v\,;$ mais je puis aussi supposer que $\mathrm {A}$ dépend non seulement de $v,$ mais encore de $\rho$ et cela d’une manière quelconque, linéairement ou non, directement ou par l’intermédiaire de ses dérivées ou d’intégrales de la forme $\textstyle \int \rho \,\mathrm {D} \,dv.$ Seulement les termes de $\mathrm {A}$ qui dépendent de $\rho$ seront supposés plus petits que le terme

$\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv$

que l’on a fait passer dans le premier membre.

Alors dans $\mathrm {A}$ on substituera à la place de $\rho$ d’abord zéro, puis des valeurs approchées successives. Ainsi, à chaque approximation, $\mathrm {A}$ pourra être considérée comme une fonction connue de $v.$

Dans ces conditions, l’équation (6 bis) est une équation linéaire à second membre. Si nous posons en effet

$\int \rho \,\mathrm {C} \,dv=\tau ,$

$\rho$ et ${\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}$ s’exprimeront linéairement à l’aide des dérivées de $\tau .$

Pour intégrer l’équation à second membre, il suffira de savoir intégrer l’équation sans second membre

${\frac {d^{2}\rho }{dv^{2}}}+\rho -\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv=0.$

Cette équation est de même forme que (6) et on peut lui appliquer la même méthode de réduction. Seulement, comme $\mathrm {A}$ est nul, la difficulté dont je viens de parler n’est plus à craindre.

172.En résumé, voici ce que nous venons de faire. Supposons qu’un terme contenant une intégrale simple

$\int \rho \,\mathrm {C} \,dv$

soit assez important pour qu’on ait été obligé de le faire passer dans le premier membre. Grâce à la transformation que je viens d’exposer plus haut, on peut le remplacer par une somme de termes ne dépendant que de $\rho$ et de ${\frac {d\rho }{dv}},$ à des termes près qui sont assez petits pour que l’on puisse les faire repasser dans le second membre.

Supposons maintenant que l’on ait été obligé de faire passer dans le premier membre un terme contenant une intégrale double, je veux dire un terme de la forme

$\mathrm {M} =\alpha \,\mathrm {A} \int dv\,\mathrm {B} \left(\int \rho \,\mathrm {C} \,dv\right)=\mathrm {A} \int dv\left(\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv\right),$

$\mathrm {A,\,B}$ et $\mathrm {C}$ étant des fonctions connues de $v.$ Nous aurons alors, à des termes près que nous pourrons faire repasser dans le second membre,

$\alpha \,\mathrm {B} \int \rho \,\mathrm {C} \,dv=\mathrm {D} \,\rho +\mathrm {E} \,{\frac {d\rho }{dv}},$

$\mathrm {D}$ et $\mathrm {E}$ étant des fonctions connues de $v,$ d’où

$\mathrm {M} =\mathrm {A} \int \rho \,\mathrm {D} \,dv+\mathrm {A} \int {\frac {d\rho }{dv}}\,\mathrm {E} \,dv=\mathrm {A\,E} \,\rho +\mathrm {A} \int \rho \left(\mathrm {D} -{\frac {d\mathrm {E} }{dv}}\right)dv.$

$\mathrm {M}$ est ainsi ramené à des termes ne dépendant que d’une intégrale simple et que l’on pourra traiter comme nous l’avons fait dans le numéro précédent.

Il me reste à expliquer comment ces termes, contenant des intégrales simples ou doubles, peuvent s’introduire dans nos équations.

Ces équations peuvent s’écrire

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\chi }{dv_{0}^{2}}}&=\mathrm {A} +\mathrm {B} \,\chi +\mathrm {C} \,\rho +\mathrm {D} ,\\{\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho &=\mathrm {E} +\mathrm {F} \,\rho +\mathrm {G} \,{\frac {d\chi }{dv_{0}}}+\mathrm {H} \,\chi +\mathrm {K} ,\end{aligned}}$

$\mathrm {A,\,B,\,C,\,E,\,F,\,G}$ et $\mathrm {H}$ représentant des fonctions connues de $v_{0},$ $\mathrm {D}$ et $\mathrm {K}$ dépendant de $\rho '$ et de $\chi '$ ou des puissances supérieures de $\rho ,$ de $\chi$ et de ${\frac {d\chi }{dv_{0}}}\cdot$

On tire de là

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\rho &=\mathrm {E} '+\mathrm {F} \,\rho +\mathrm {G} \int \mathrm {B} \,\chi \,dv_{0}+\mathrm {G} \int \mathrm {C} \,\rho \,dv0\\&+\mathrm {H} \iint \mathrm {B} \,\chi \,dv_{0}\,dv_{0}+\mathrm {H} \iint \mathrm {C} \,\rho \,dv_{0}\,dv_{0}+\mathrm {K} ',\end{aligned}}$

$\mathrm {E} '$ étant une nouvelle fonction connue de $v_{0}$ facile à former et

$\mathrm {K} '=\mathrm {K} +\mathrm {G} \int \mathrm {D} \,dv_{0}+\mathrm {H} \iint \mathrm {D} \,dv_{0}\,dv_{0}$

dépendant de $\rho ',$ de $\chi '$ et des puissances supérieures de $\rho ,\,\chi ,\,\ldots .$

On voit que l’on a introduit ainsi des termes de la forme

$\mathrm {G} \int \mathrm {C} \,\rho \,dv_{0},\quad \mathrm {H} \iint \mathrm {C} \,\rho \,dv_{0}\,dv_{0},$

que l’on peut être amené à faire passer dans le premier membre et à transformer comme nous venons de le dire.

173.Nous avons ramené notre équation à la forme

${\frac {d^{2}\rho }{dv_{0}^{2}}}+\mathrm {A} \,{\frac {d\rho }{dv_{0}}}+\mathrm {B} \,\rho =\mathrm {C} ,$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des fonctions connues de $v_{0}\,;$ $\mathrm {C}$ contient les fonctions inconnues et en particulier $\rho \,;$ mais nous sommes convenu d’y remplacer ces quantités d’abord par 0, puis par leurs valeurs approchées successives, de sorte que $\mathrm {C}$ peut aussi être regardée comme une fonction connue de $v_{0}.$

C’est une équation linéaire à second membre, mais on peut encore la simplifier en faisant disparaître le terme en ${\frac {d\rho }{dv_{0}}}\cdot$ Pour cela, il suffit, comme on sait, de poser

$\rho =\sigma \,e^{-\int {\frac {\mathrm {A} }{2}}\,dt},$

l’équation devient

${\frac {d^{2}\sigma }{dv_{0}^{2}}}+\mathrm {B} '\sigma =\mathrm {C} '\,;$

$\mathrm {B} '$ et $\mathrm {C} '$ étant de nouvelles fonctions connues de $v_{0}.$

En général, il suffira de conserver un seul terme dans $\mathrm {B} ',$ les autres passant dans le second membre, de sorte que l’équation sera ramenée à la forme de l’équation (6 a) du n^o 169.

174.Nous avons supposé jusqu’ici que le mouvement des trois corps se passe dans un plan. Il y aurait peu de chose à changer dans le cas où l’on voudrait tenir compte des inclinaisons des orbites.

Soient alors $r,\,v$ et $\theta ,$ le rayon vecteur, la longitude et la latitude de la première planète, les équations du mouvement seront, en reprenant d’ailleurs les notations du n^o 167,

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}\cos ^{2}\theta \,{\frac {dv}{dt}}\right)&={\frac {d\Omega }{dv}},\\{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-r\cos ^{2}\theta \left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}-r\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+{\frac {\mu }{r^{2}}}&={\frac {d\Omega }{dr}},\\{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\frac {d\theta }{dt}}\right)+r^{2}\sin \theta \cos \theta \left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}&={\frac {d\Omega }{d\theta }}\cdot \end{aligned}}$

Posons alors

${\begin{aligned}u&={\frac {1}{r\cos \theta }},&s&=\mathrm {tang} \,\theta \end{aligned}}$

et introduisons d’autre part, comme au n^o 167, une variable auxiliaire $v_{0}$ définie par l’équation

${\frac {dv_{0}}{dt}}=u^{2}{\sqrt {c_{0}}}.$

On en déduit d’abord

(1)

${\frac {d^{2}v}{dv_{0}^{2}}}={\frac {1}{c_{0}u^{2}}}{\frac {d\Omega }{dv}},$

équation analogue à l’équation (5) du n^o 167, et l’on trouverait de même

(2)

${\frac {d^{2}u}{dv_{0}^{2}}}+u=\mathrm {A} -{\frac {\mu }{c_{0}}}\cos ^{2}\theta ,$

(3)

${\frac {d^{2}s}{dv_{0}^{2}}}+s=\mathrm {B} ,$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des combinaisons des dérivées de la fonction perturbatrice.

On pourra alors dans $\mathrm {B,\,A}$ et ${\frac {d\Omega }{dv}}$ remplacer les coordonnées des planètes par leurs valeurs approchées. Les seconds membres de nos équations (1) et (3) sont alors connus et nous pouvons calculer $v$ et $s\,;$ si nous connaissons $s$ et par conséquent $\theta ,$ le second membre de (2) sera connu à son tour et nous pourrons calculer $u.$

Opérer ainsi, ce serait rester dans l’esprit des anciennes méthodes ; mais M. Gyldén ferait, au contraire, passer, comme nous l’avons vu, dans le premier membre de (1), (2) et (3) quelques-uns des termes les plus importants du second membre et, appliquant au besoin les procédés de réduction des n^os 170 à 173, obtiendrait ainsi des équations de même forme que les équations du n^o 169.

Orbite intermédiaire.

175.Nous avons posé plus haut

${\begin{aligned}u&=u_{1}+\rho ,&v&=v_{1}+\chi ,\end{aligned}}$

$u_{1}$ et $v_{1}$ étant des valeurs approchées de $u$ et de $v.$

Le choix de ces valeurs approchées qui reste arbitraire dans une certaine mesure a évidemment une grande importance. Pour rester dans l’esprit des anciennes méthodes, il faudrait prendre pour $u_{1}$ et $v_{1}$ les valeurs qui correspondent au mouvement képlérien.

M. Gyldén préfère se rapprocher davantage de l’orbite réelle dès la première approximation ; il est clair, en effet, que les approximations suivantes en seront plus rapides et, d’autre part, nous avons vu au n^o 133 que le cas où le mouvement est képlérien en première approximation présente une difficulté spéciale qu’on peut chercher à éviter.

Voici donc ce que fait M. Gyldén.

Il suppose d’abord $v_{1}=v_{0}$ et $u_{1}$ est déterminé en fonction de $v_{0}$ de la manière suivante ; nous avons l’équation

${\frac {d^{2}u}{dv_{0}^{2}}}+u\left({\frac {dv}{dv_{0}^{2}}}\right)^{2}+{\frac {\mu }{c_{0}}}={\frac {r^{2}}{c_{0}}}{\frac {d\Omega }{dr}}\cdot$

Remplaçons d’abord ${\frac {d\Omega }{dr}}$ par une fonction $c_{0}u^{2}\varphi (u),$ dépendant seulement de $u$ et peu différente de la moyenne des valeurs que prend ${\frac {d\Omega }{dr}}$ quand, laissant $u$ constant, on fait varier $v$ de 0 à 2π et que, d’autre part, on fait varier $u'$ et $v'$ de façon que la seconde planète (dont les coordonnées sont $u'$ et $v'$) prenne toutes les positions possibles sur son orbite képlérienne. Remplaçons ensuite $u$ et $v$ par $u_{1}$ et $v_{1},$ de sorte que ${\frac {dv}{dv_{0}}}$ se réduit à

${\frac {dv_{1}}{dv_{0}}}={\frac {dv_{0}}{dv_{0}}}=1.$

Notre équation devient ainsi

(1)

${\frac {d^{2}u_{1}}{dv_{0}^{2}}}+u_{1}+{\frac {\mu }{c_{0}}}=\varphi (u_{1}).$

Cette équation s’intègre aisément par quadratures. L’interprétation de cette solution approchée est d’ailleurs facile.

Adjoignons à l’équation (1) l’équation

(2)

${\frac {dv_{0}}{d\tau }}=u_{1}^{2}{\sqrt {c_{0}}}.$

Il est clair que, si l’on considère un astre fictif qui, à l’époque $\tau ,$ a pour rayon vecteur $-{\frac {1}{u_{1}}}$ et pour longitude $v_{0},$ cet astre aura le même mouvement que s’il était attiré par une masse fixe située à l’origine, suivant une certaine loi différente de celle de Newton. Cette attraction, néanmoins, ne dépend que de la distance, car elle est manifestement égale à

$\mu u_{1}^{2}-c_{0}u_{1}^{2}\varphi (u_{1}),$

et ${\frac {1}{u_{1}}}$représente précisément la distance de notre astre fictif à l’origine, c’est-à-dire à la masse attirante fictive.

Les variables $t$ et $\tau ,$ correspondant à une même valeur de $v_{0},$ sont liées entre elles par la relation

${\frac {dt}{d\tau }}={\frac {u_{1}^{2}}{u^{2}}}\cdot$

La variable $\tau ,$ qui ne sert guère d’ailleurs qu’à cette interprétation, a reçu le nom de temps réduit.

Quant à l’orbite parcourue par notre astre fictif, elle a reçu le nom d’orbite intermédiaire, parce qu’elle tient, pour ainsi dire, le milieu entre l’orbite réelle et l’orbite képlérienne.

Pour

$\varphi (u)=h\,u^{-3}\quad$ ou $\quad hu^{2},$

$h$ étant une constante, l’intégration de (1) peut se faire par les fonctions elliptiques.

Orbite absolue.

176.Pour peu que l’on réfléchisse à l’esprit des théories de M. Gyldén, on comprendra que le choix de la variable $v_{0}$ n’y joue aucun rôle essentiel, et qu’on arriverait à des résultats tout à fait analogues en prenant une variable indépendante.

Le plus simple, et, dans la plupart des cas, le plus avantageux, serait de prendre le temps $t.$ C’est ce qu’a fait M. Gyldén lui-même dans son Mémoire du Tome IX des Acta mathematica.

Mais on peut faire beaucoup d’autres choix encore. M. Gyldén a employé, entre autres, dans certaines recherches, une variable dont la définition est beaucoup plus compliquée et qu’il appelle aussi $v_{0}.$ Je vais en dire ici quelques mots.

Le célèbre astronome se propose de déterminer une orbite qui s’écarte très peu de l’orbite réelle et qu’il appelle orbite absolue. Elle tient à son tour, pour ainsi dire, le milieu entre l’orbite intermédiaire et l’orbite réelle.

Reprenons les équations (1) du n^o 167.

Considérons, dans le second membre de ces équations, les termes les plus importants ; soient $\mathrm {Q}$ l’ensemble des termes les plus importants de $r^{2}{\frac {d\Omega }{dv}}$ et $\mathrm {P}$ l’ensemble des termes les plus importants de $r^{2}{\frac {d\Omega }{dr}},$ de telle façon que nous puissions négliger dans une première approximation les différences

$r^{2}{\frac {d\Omega }{dv}}-\mathrm {Q} ,\qquad r^{2}{\frac {d\Omega }{dr}}-\mathrm {P} .$

Soit $\mathrm {Q} _{0}$ ce que devient $\mathrm {Q}$ quand on y remplace $u,$ $u'$ et $v'$ par leurs valeurs approchées en fonction de $v,$ puis qu’on remplace ensuite $v$ par $v_{0}.$

Introduisons une fonction auxiliaire $c_{1}$ en posant

(2)

$r^{2}{\frac {d{\sqrt {c_{1}}}}{dt}}=\mathrm {Q} _{0}$

et posons ensuite

(3)

$r^{2}{\frac {dv_{0}}{dt}}={\sqrt {c_{1}}}.$

La fonction $v_{0}$ ainsi définie sera notre nouvelle variable indépendante ; elle différera peu de $v$ puisqu’elle satisfera à l’équation

${\frac {d\left(r^{2}{\dfrac {dv_{0}}{dt}}\right)}{dt}}={\frac {\mathrm {Q} _{0}}{r^{2}}},$

tandis que $v$ satisfait à l’équation

${\frac {d\left(r^{2}{\dfrac {dv}{dt}}\right)}{dt}}={\frac {d\Omega }{dv}},$

qui n’en diffère que par l’addition de certains termes que nous avons supposés très petits. Nous poserons donc

$v=v_{0}+\chi .$

Des équations (2) et (3) on tire

(4)

${\sqrt {c_{1}}}\,d{\sqrt {c_{1}}}={\frac {dc_{1}}{2}}=\mathrm {Q} _{0}\,dv_{0}$

Or, nous avons supposé que pour obtenir $\mathrm {Q} _{0}$ on remplaçait dans $\mathrm {Q}$ les coordonnées $u,$ $u'$ et $v'$ par leurs valeurs approchées en fonction de $v,$ puis $v$ par $v_{0}.$

Il en résulte que $\mathrm {Q} _{0}$ est fonction de $v_{0}$ seulement, et que l’équation (4) s’intégrera aisément par quadratures.

La seconde équation (1) devient alors

${\frac {d^{2}u}{dv_{0}^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\log c_{1}}{dv_{0}}}{\frac {du}{dv_{0}}}+u\left({\frac {dv}{dv_{0}}}\right)^{2}+{\frac {\mu }{c_{1}}}={\frac {r^{2}}{c_{1}}}{\frac {d\Omega }{dt}}\cdot$

Il est clair que, $\chi$ étant très petit, ${\frac {dv}{dv_{0}}}$ est très voisin de 1 ; on peut donc remplacer le coefficient $\left({\frac {dv}{dv_{0}}}\right)^{2}$ par 1, dans une première approximation ; si donc $u_{1}$ est la valeur approchée de $u$ et que nous posions

$u=u_{1}+\rho ,$

nous pourrons définir $u_{1}$ par l’équation

${\frac {d^{2}u_{1}}{dv_{0}^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {d\log c_{1}}{dv_{0}}}{\frac {du_{1}}{dv_{0}}}+u_{1}+{\frac {\mu }{c_{1}}}={\frac {\mathrm {P} _{0}}{c_{1}}},$

où $\mathrm {P} _{0}$ est ce que devient $\mathrm {P}$ quand on y remplace $v$ par $v_{0},$ $u$ par $u_{1},$ $u'$ et $v'$ par leurs valeurs approchées en fonctions de $v_{0}.$

$\mathrm {P} _{0}$ ne dépendant que de $u_{1}$ et de $v_{0},$ et $c_{1}$ étant une fonction de $v_{0}$ connue par l’équation (4), nous avons une équation différentielle du second ordre entre $u_{1}$ et $v_{0}.$

En la transformant par le procédé du n^o 173, c’est-à-dire en posant

$u_{1}=\sigma \left(c_{1}\right)^{-{\frac {1}{4}}},$

on trouve

${\frac {d^{2}\sigma }{dv_{0}^{2}}}=\mathrm {F} \left(v_{0},\sigma \right),$

ce qui est une équation de même forme que les équations (α) et (β) du n^o 169.

Ayant ainsi déterminé les coordonnées ${\frac {1}{u_{1}}}$ et $v_{0}$ de l’astre fictif qui décrit l’orbite absolue, on calculera les corrections $\rho$ et $\chi$ par des procédés analogues et l’on possédera ainsi les coordonnées de la planète réelle.