L’Encyclopédie/1re édition/QUADRATIQUE

d’Alembert

L’Encyclopédie, 1^re éd.

1751 (Tome 13, p. 638).

QUADRATIQUE, adj. (Algebre.) équation quadratique, qu’on appelle plus communément équation du second degré, c’est une équation où la quantité inconnue monte à deux dimensions, c’est-à-dire une équation qui renferme le quarré de la racine ou du nombre cherché : telle est l’équation $\scriptstyle x^{2}=a+b^{2}$. Voy. Equation.

Les équations quadratiques sont de deux especes ; les unes sont pures ou simples, & les autres sont affectées.

Les équations quadratiques simples sont celles où le quarré de la racine inconnue se trouve seul, & est égal à un nombre donné ou à une quantité connue ; comme dans les équations $\scriptstyle xx=36$ ; $\scriptstyle yy=133225$ ; $\scriptstyle xx=aa+bb$.

La résolution de ces équations est fort aisée ; car il est évident qu’il ne s’agit que d’extraire la racine quarrée du nombre ou de la quantité connue. Voyez Racine.

Ainsi dans la premiere équation, la valeur de x est égale à 6 ; dans la seconde, $\scriptstyle y=365$.

Les équations quadratiques affectées sont celles qui renferment quelque puissance intermédiaire du nombre inconnu, outre la plus haute puissance de ce nombre, & le nombre absolu donné ; telle que l’équation $\scriptstyle xx+2bx=100$.

Toutes les équations de cet ordre sont représentées par l’une ou l’autre des formes suivantes, $\scriptstyle xx+ex=R.xx-ex=R.ex-xx=R$.

Il y a différentes méthodes d’extraire les racines des équations quadratiques affectées ; la plus commode est celle-ci : supposons que $\scriptstyle x^{2}+ax=b^{2}$, on rendra $\scriptstyle x^{2}+ax$ un quarré parfait, en y ajoûtant $\scriptstyle {\frac {aa}{4}}$, afin d’avoir $\scriptstyle xx+ax+{\frac {aa}{4}}$, qui est le quarré de $\scriptstyle x+{\frac {a}{2}}$ : après quoi, la racine quarrée peut s’extraire de la maniere suivante :

$\scriptstyle x^{2}+ax=b^{2}$
$\scriptstyle +{\frac {1}{4}}aa$	$\scriptstyle {\frac {1}{4}}aa$ ajoûté
$\scriptstyle x^{2}+ax+{\frac {1}{4}}aa=b^{2}+{\frac {1}{4}}aa$
$\scriptstyle x+{\frac {1}{4}}a=\pm {\sqrt {b^{2}+{\frac {1}{4}}aa}}$
$\scriptstyle x={\frac {-1}{2}}a\pm {\sqrt {b^{2}+{\frac {1}{4}}aa}}$

Voyez au reste des remarques importantes sur ces formules, au mot Equation ; & sur la construction des équations quadratiques, voyez Construction.

Au lieu des caracteres + & -, quelques auteurs ont fait usage de points, ainsi qu’on peut le voir dans les équations suivantes.

$\scriptstyle x^{2}+ax=b^{2}$
$\scriptstyle +{\frac {1}{4}}aa$	$\scriptstyle {\frac {1}{4}}aa$ add.
$\scriptstyle x^{2}\cdot ax\cdot {\frac {1}{4}}a^{2}={\frac {1}{4}}a^{2}\cdot b^{2}$
$\scriptstyle x\cdot {\frac {1}{2}}a={\sqrt {(}}{{\frac {1}{4}}\cdot a^{4}\cdot b^{2}})$
$\scriptstyle x={\frac {-1}{2}}a\pm {\sqrt {b^{2}+{\frac {1}{4}}aa}}$

Remarquez qu’on tire la double racine positive & négative de $\scriptstyle b^{2}+{\frac {1}{4}}aa$, & qu’on ne tire que la simple racine x + $\scriptstyle x+{\frac {1}{2}}a$ du premier membre, quoiqu’on pût tirer encore la racine $\scriptstyle -x{\frac {1}{2}}a$. Mais si on faisoit $\scriptstyle \pm x\pm {\frac {1}{2}}a=\pm {\sqrt {bb+{\frac {1}{4}}aa}}$, cela ne produiroit jamais que deux valeurs de x, quelque combinaison que l’on fît des signes. Voilà pourquoi on se contente d’extraire la double racine d’un des membres. On pourroit faire $\scriptstyle \pm x\pm {\frac {a}{2}}={\sqrt {bb+{\frac {1}{4}}aa}}$ ; & cela donneroit les mêmes valeurs de x. (O)