L’Encyclopédie/1re édition/COEFFICIENT
COEFFICIENT, s. m. (Algebre.) en langage algébrique, est le nombre ou la quantité quelconque placée devant un terme, & qui, en se multipliant avec les quantités du même terme qui la suivent, sert à former ce terme. Voyez Terme. Ainsi dans 3a, bx, Cxx, 3 est le coefficient du terme 3a, b celui de bx, C celui de Cxx.
Lorsqu’une lettre n’est précédée d’aucun nombre, elle est toûjours censée avoir 1 pour coefficient, parce qu’il n’y a rien qu’on ne puisse regarder comme multiplié par l’unité. Ainsi a, bc sont absolument la même chose que 1a, 1bc. Il ne faut pas confondre les coefficiens avec les exposans. Dans la quantité 3a, le coefficient 3 indique que a est pris trois fois, ou que a est ajoûté deux fois à lui-même. Au contraire dans la quantité a3, l’exposant 3 indique que a est multiplié deux fois de suite par lui-même.
Par exemple, supposons que a soit 4, 3a sera 3 fois 4, c’est-à-dire 12, & a3 sera 4 ✕ 4 ✕ 4, c’est-à-dire 64. Voyez Caractere.
Dans une équation ordonnée, le coefficient du second terme est la somme de toutes les racines (voy. Racine) ; ensorte que si la somme des racines positives est égale à celles des racines négatives, & que par conséquent la somme totale des racines soit zéro, il n’y aura point de second terme dans l’équation.
Le coefficient du troisieme terme dans la même équation ordonnée, est la somme de tous les produits des racines prises deux à deux de toutes les manieres possibles.
Le coefficient du quatrieme terme est la somme de tous les produits des racines prises trois à trois, de toutes les manieres possibles, & ainsi des autres termes à l’infini.
La méthode des coefficiens indéterminés est une des plus importantes découvertes que l’on doive à Descartes. Cette méthode très en usage dans la théorie des équations, dans le calcul intégral, & en général dans un très-grand nombre de problèmes mathématiques, consiste à supposer l’inconnue égale à une quantité dans laquelle il entre des coefficiens qu’on suppose connus, & qu’on désigne par des lettres ; on substitue ensuite cette valeur de l’inconnue dans l’équation ; & mettant les uns sous les autres les termes homogenes, on fait chaque coefficient = 0, & on détermine par ce moyen les coefficiens indéterminés. Par exemple, soit proposée cette équation différencielle,
dy + bydx + ax2dx + cxdx + fdx = 0, on supposera
y = A + Bx + Cxx, & on aura,
dy = Bdx + 2Cxdx
+ bydx = bAdx + bBxdx + bCxxdx
+ ax2dx = ax2dx
+ cxdx = + cxdx
+ fdx = + fdx
Ensuite on fera B + BA + f = 0, 2C + bB + c = 0, bC + a = 0 ; & résolvant ces équations à l’ordinaire (voyez Equation), on aura les inconnues A, B, C. (O)