Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 16/Géométrie analitique, article 5

Recherche de l’équation générale des surfaces telles que toutes celles de leurs cordes qui passent par un même point déterminé ont une longueur constante ; par M. ***.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 16, 1826 (p. 380-382).

QUESTIONS RÉSOLUES.

Solution du dernier des deux problèmes de géométrie
proposés à la page 76 du précédent volume ;

Par M. ***

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PROBLÈME. Les propriétés caractéristiques de la sphère sont 1.^o que toutes celles de ses cordes qui passent par un certain point fixe y ont leur milieu ; 2.^o que ces cordes sont toutes d’une même longueur. Les surfaces qui jouissent de la première de ces propriétés sont les surfaces qui ont un centre, et dont il est facile d’obtenir l’équation générale. On propose de donner également l’équation générale des surfaces qui jouissent de la dernière propriété sans jouir de la première ?

Solution. Soient $\mathrm {P}$ le point donné et $2r$ la longueur commune que doivent avoir toutes les cordes qui concourront en ce point. Concevons dans l’espace une surface courbe, tout-à-fait arbitraire, continue ou discontinue. De l’un quelconque $\mathrm {C}$ des points de cette surface soit menée une droite au point $\mathrm {P} ,$ et faisons du même point le centre d’une sphère ayant un rayon égal à $r,$ cette sphère sera percée par la droite $\mathrm {PC}$ en deux points appartenant à deux nappes de la surface cherchée, laquelle sera continue ou discontinue suivant la nature du lieu des points $\mathrm {C.}$

Imitons ce procédé par l’analise. Soit pris le point $\mathrm {P}$ pour origine des coordonnées rectangulaires, et soit alors

$z=\operatorname {f} (x,y),\qquad$(1)

l’équation de la surface lieu des points $\mathrm {C} ,$ les équations de l’une quelconque des droites $\mathrm {PC}$ seront

$x=Az,\qquad y=Bz,\qquad$(2)

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant deux indéterminées ; et, en combinant entre elles les équations (1, 2), on en tirera pour le point $\mathrm {C}$ des équations de la forme

$x=A\varphi (A,B),\qquad y=B\varphi (A,B),\qquad z=\varphi (A,B).\quad$(3)

La sphère qui aura ce point pour centre et un rayon égal à $r$ aura pour équation

$\left\{x-A\varphi (A,B)\right\}^{2}+\left\{y-B\varphi (A,B)\right\}^{2}+\left\{z-\varphi (A,B)\right\}^{2}=r^{2}.\quad$(4)

En combinant donc cette dernière équation, pour chaque système de valeurs de $A$ et $B,$ avec les équations (2), on obtiendrait, tour-à-tour, tous les points des deux nappes de la surface cherchée. Pour obtenir donc l’équation générale de cette surface, il n’est question que d’éliminer $A$ et $B$ entre ces mêmes équations, ce qui donnera

$\left\{x-{\frac {x}{z}}\varphi ({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}})\right\}^{2}+\left\{y-{\frac {y}{z}}\varphi ({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}})\right\}^{2}+\left\{z-\varphi ({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}})\right\}^{2}=r^{2}$

ou bien

$\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\left\{z-\varphi ({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}})\right\}^{2}=r^{2}z^{2},\qquad$(5)

qui est conséquemment l’équation demandée.

Nous avons supposé que la fonction $\operatorname {f}$ était donnée, et nous venons de voir que la fonction $\varphi$ s’en déduit en résolvant par rapport à $z$ l’équation

$z=\operatorname {f} (Az,Bz).$

Si, au contraire, la fonction $\varphi$ étant donnée, on veut en déduire la fonction $\operatorname {f} ,$ on y parviendra en résolvant par rapport à la même variable l’équation

$z=\varphi ({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}).$

La question que nous venons de résoudre est exactement, pour la géométrie à trois dimensions, ce qu’est, pour la géométrie plane, celle qui a été traitée par M. Jouvin (Annales, tom.  I., pag. 124).