Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 16/Algèbre élémentaire, article 1

Démonstration d’un théorème d’algèbre ; par M. Lenthéric.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 16, 1826 (p. 120-121).

Démonstration des deux théorèmes d’analise et de géométrie énoncés à la page 64 du présent volume, et du théorème de géométrie énoncé à la page 344 du volume précédent ;

Par M. Lenthéric, docteur ès sciences, professeur de mathématiques
et de physique au collége royal de Montpellier.

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À la page 373 du précédent volume, il a été démontré qu’en adoptant les notations abrégées

$[{\overset {n}{z}}]=z(z+p)(z+2p)\ldots (z+{\overline {n-1}}.p),$

$n!=1.2.3.4.\ldots ,n,$

on avait

${\frac {[{\overset {m}{x+y}}]}{m!}}={\frac {[{\overset {m}{x}}]}{m!}}+{\frac {[{\overset {1}{y}}]}{1}}.{\frac {[{\overset {m-1}{x}}]}{(m-1)!}}+{\frac {[{\overset {2}{y}}]}{2!}}.{\frac {[{\overset {m-2}{x}}]}{(m-2)!}}+{\frac {[{\overset {3}{y}}]}{3!}}.{\frac {[{\overset {m-3}{x}}]}{(m-3)!}}+\ldots$

Si, dans cette formule, on pose $m-=x,\ p=-1,$ et qu’on remette en place des divers symboles les développemens qu’ils représentent, en supprimant les facteurs communs aux deux termes des diverses fractions résultantes, il viendra

${\frac {x+y}{1}}.{\frac {x+y-1}{2}}.{\frac {x+y-2}{3}}\ldots {\frac {y+1}{x}}={\frac {x+y}{1}}.{\frac {x+y-1}{2}}.{\frac {x+y-2}{3}}\ldots {\frac {x+1}{y}}$

$=1+{\frac {x}{1}}.{\frac {y}{1}}+{\frac {x}{1}}.{\frac {x-1}{2}}.{\frac {y}{1}}.{\frac {y-1}{2}}+{\frac {x}{1}}.{\frac {x-1}{2}}.{\frac {x-2}{3}}.{\frac {y}{1}}.{\frac {y-1}{2}}.{\frac {y-2}{3}}+\ldots$

qui est, aux notations près, le théorème d’analise énoncé à la page 64 du présent volume.