Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Géométrie des courbes et surfaces, article 5

Recherches de la courbe à laquelle sont tangentes les cordes d’une ligne du second ordre qui joignent les extrémités de deux diamètres perpendiculaires l’un à l’autre ; par M. Querret.

Annales de mathématiques pures et appliquées, Tome 15, 1821 (p. 197-199).

QUESTIONS RÉSOLUES.

Solution du premier des deux problèmes de géométrie
énoncés à la page 76 du présent volume.

PROBLÈME. À quelle courbe sont tangentes les cordes d’une section conique qui a un centre, hypoténuses d’une suite de triangles rectangles ayant constamment le sommet de l’angle droit au centre de la courbe ?

Solution de M. Querret.

Supposons que la courbe soit une ellipse dont $\mathrm {C}$ soit le centre. Soit $\mathrm {MN}$ une des hypothénuses dont il s’agit. Du centre $\mathrm {C}$ à son milieu $\mathrm {O}$ soit menée une droite rencontrant la courbe en un point $\mathrm {T}$ par lequel soit menée une tangente à cette courbe. Du centre $\mathrm {C}$ soit abaissée sur cette tangente la perpendiculaire $\mathrm {CG}$ coupant en $\mathrm {H}$ sa parallèle $\mathrm {MN.}$ Soit enfin $\mathrm {PQ}$ le diamètre parallèle à $\mathrm {MN,}$ conjugué de celui qui passe par $\mathrm {T} \,;$ à cause de l’angle droit $\mathrm {MCN,}$ on aura $\mathrm {CO=OM=ON.}$

Cela posé, à cause des parallèles, on aura

$\mathrm {CT:CO::CG:CH={\frac {CO.CG}{CT}}={\frac {MO.CG}{CT}}} .$

Mais, par la propriété de l’ellipse, on a

$\mathrm {{\overline {MO}}^{2}={\frac {{\overline {CP}}^{2}}{{\overline {CT}}^{2}}}\left({\overline {CT}}^{2}-{\overline {CO}}^{2}\right)={\frac {{\overline {CP}}^{2}}{{\overline {CT}}^{2}}}\left({\overline {CT}}^{2}-{\overline {MO}}^{2}\right)} \,;$

d’où

$\mathrm {MO={\frac {CP.CT}{\sqrt {{\overline {CP}}^{2}+{\overline {CT}}^{2}}}}}$

Mais, par une autre propriété de l’ellipse, si l’on représente par $a$ et $b$ ses deux demi-diamètres principaux, on aura

$\mathrm {CP.CG} =ab,\quad$d’où$\quad \mathrm {CP.CT} ={\frac {ab.\mathrm {CT} }{\mathrm {CG} }},$

et

$\mathrm {{\overline {CP}}^{2}+{\overline {CT}}^{2}} =a^{2}+b^{2}$

d’où

$\mathrm {MO={\frac {CT}{CG}}} .{\frac {ab}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$

En substituant donc cette valeur de $\mathrm {MO}$ dans celle de $\mathrm {CH,}$ elle deviendra simplement

$\mathrm {CH} ={\frac {ab}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},$

quantité constante, de sorte que la courbe cherchée est un cercle concentrique à l’ellipse dont il s’agit, et ayant pour rayon la perpendiculaire abaissée de son centre sur la corde qui joint deux sommets consécutifs quelconques^[1].

Pour passer de là à l’hyperbole sans faire de nouveaux calculs, $a$ étant le demi-axe transverse, il suffit de changer $b$ en $b{\sqrt {-1}}$ ce qui donne, pour le rayon du cercle,

${\frac {ab{\sqrt {-1}}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}={\frac {ab}{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}}\,;$

ce qui prouve qu’alors le cercle n’est possible qu’autant que l’axe transverse est le plus petit des deux.

1. Quelqu’un nous a assuré que cette proposition se trouvait démontrée dans l’ouvrage de M. Poncelet ; mais nous n’avons pu découvrir en quel endroit.
   J. D. G.