Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 15/Géométrie analitique, article 2

Recherche de la courbe à laquelle est tangente l’hypothénuse d’un triangle rectangle mobile et variable de forme, dans lequel les côtés de l’angle droit sont constamment deux demi-diamètres d’une ligne du second ordre : Recherche de la surface à laquelle est tangente la face hypothénusale d’un tétraèdre rectangle mobile et variable de forme, dans lequel les arêtes de l’angle droit sont constamment trois demi-diamètres d’une surface du second ordre ; par un Abonné.

Annales de mathématiques pures et appliquées, Tome 15, 1821 (p. 199-204).

Autre solution du même problème et de son analogue
pour les surfaces du second ordre ;

Par un Abonné.

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Soit une ligne quelconque du second ordre ayant un centre, rapportée à ses diamètres principaux ; et soit alors son équation

$ax^{2}+by^{2}=c.\qquad$(1)

Par son centre $\mathrm {O} ,$ soient menées arbitrairement deux droites perpendiculaires entre elles, la rencontrant en $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} \,;$ et cherchons l’expression de la perpendiculaire $p$ abaissée du centre $\mathrm {O}$ sur la corde $\mathrm {AB.}$

Pour cela, soient pris respectivement $\mathrm {OA}$ et $\mathrm {OB}$ pour axes des $t$ et des $u\,;$ pour passer au nouveau système de coordonnées ; il faudra faire

$\left.{\begin{aligned}&x=\alpha t+\beta u,\\&y=\alpha 't+\beta 'u\,;\end{aligned}}\right\}\quad (2)$

ce qui donnera, en substituant,

$a(\alpha t+\beta u)^{2}+b(\alpha 't+\beta 'u)^{2}=c.\qquad$(3)

Si, dans cette équation, on fait tour à tour chaque coordonnée égale à zéro, et qu’on tire ensuite la valeur de l’autre, on obtiendra ainsi $\mathrm {OA}$ et $\mathrm {OB,}$ qu’on trouvera être

$\mathrm {OA} ={\frac {\sqrt {c}}{\sqrt {a\alpha ^{2}+b\alpha '^{2}}}},\qquad \mathrm {OB} ={\frac {\sqrt {c}}{\sqrt {a\beta ^{2}+b\beta '^{2}}}}.\qquad$(4)

Cela posé, l’aire du triangle rectangle $\mathrm {ACB}$ ayant également pour expression ${\frac {1}{2}}\mathrm {OA.OB}$ et ${\frac {1}{2}}p.\mathrm {AB} ,$ on doit avoir

$p=\mathrm {\frac {OA.OB}{AB}} ,$

ou bien

$p=\mathrm {{\frac {OA.OB}{\sqrt {{\overline {OA}}^{2}+{\overline {OB}}^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {{\frac {1}{{\overline {OA}}^{2}}}+{\frac {1}{{\overline {OB}}^{2}}}}}}} \,;$

introduisant, dans cette expression, pour $\mathrm {OA}$ et $\mathrm {OB}$ leurs valeurs (4), elle deviendra

$p={\frac {\sqrt {c}}{\sqrt {a\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}\right)+b\left(\alpha '^{2}+\beta '^{2}\right)}}}\,;$

mais on sait que

$\left.{\begin{aligned}&\alpha ^{2}+\beta ^{2}=1,\\&\alpha '^{2}+\beta '^{2}=1\,;\end{aligned}}\right\}\quad (5)$

donc cette expression se réduit simplement à

$p={\frac {\sqrt {c}}{\sqrt {a+b}}},$

quantité constante ; de sorte qu’on a ce théorème :

THÉORÈME I. Les cordes d’une ligne du second ordre hypothénuses d’une suite de triangles rectangles, ayant pour sommet commun de l’angle droit le centre de la courbe, sont toutes tangentes à un même cercle.

On peut toujours supposer $c$ positif, et conséquemment le numérateur réel ; le cercle ne sera donc réel qu’autant que $a+b$ sera une quantité positive, circonstance qui aura toujours lieu dans l’ellipse.

Soit, en second lieu, une surface quelconque du second ordre ayant un centre, rapportée à ses diamètres principaux ; et soit alors son équation

$ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=d.\qquad$(1)

Par son centre $\mathrm {O} ,$ soient menées arbitrairement trois droites perpendiculaires entre elles, la rencontrant en $\mathrm {A,B,C} \,;$ et cherchons l’expression de la perpendiculaire $p$ abaissée de son centre $\mathrm {O}$ sur le plan du triangle $\mathrm {ABC.}$

Pour cela, soient pris respectivement $\mathrm {OA,OB,OC}$ pour axes des $t,u,v\,;$ pour passer au nouveau système de coordonnées, il faudra faire

$\left.{\begin{aligned}x&=\alpha t\ \ +\beta u\ \ +\gamma v,\\y&=\alpha 't\,+\beta 'u\,+\gamma 'v,\\z&=\alpha ''t+\beta ''u+\gamma ''v\,;\end{aligned}}\right\}\quad (2)$

ce qui donnera, en substituant,

$a(\alpha t+\beta u+\gamma v)^{2}+b(\alpha 't+\beta 'u+\gamma 'v)^{2}+c(\alpha ''t+\beta ''u+\gamma ''v)^{2}=d.$ (3)

Si, dans cette équation, on fait tour-à-tour deux des coordonnées égales à zéro, et qu’on en tire ensuite la valeur de la troisième, on obtiendra ainsi les valeurs de $\mathrm {OA,OB,OC,}$ qu’on trouvera être

$\left.{\begin{aligned}&\mathrm {OA} ={\frac {\sqrt {d}}{\sqrt {a\alpha ^{2}+b\alpha '^{2}+c\alpha ''^{2}}}},\\\\&\mathrm {OB} ={\frac {\sqrt {d}}{\sqrt {a\beta ^{2}+b\beta '^{2}+c\beta ''^{2}}}},\\\\&\mathrm {OC} ={\frac {\sqrt {d}}{\sqrt {a\gamma ^{2}+b\gamma '^{2}+c\gamma ''^{2}}}}.\end{aligned}}\right\}\quad (4)$

Cela posé, considérons le tétraèdre rectangle dont le sommet est en $\mathrm {O}$ et dont $\mathrm {ABC}$ est la face hypothénusale. Les aires des faces rectangulaires de ce tétraèdre sont

$\mathrm {{\frac {1}{2}}OB.OC,\quad {\frac {1}{2}}OC.OA,\quad {\frac {1}{2}}OA.OB}$

on sait d’ailleurs que la somme de leurs quarrés doit être égale au quarré de l’aire de la face hypothénusale ; d’où il suit qu’on doit avoir

$\mathrm {ABC={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\overline {OB}}^{2}.{\overline {OC}}^{2}+{\overline {OC}}^{2}.{\overline {OA}}^{2}+{\overline {OA}}^{2}.{\overline {OB}}^{2}}}} .$

Présentement, le volume du tétraèdre peut être indistinctement exprimé par ${\frac {1}{3}}p.\mathrm {ABC}$ ou par ${\frac {1}{6}}\mathrm {OA.OB.OC} \,;$ d’où il suit qu’on doit avoir

$p\mathrm {={\frac {OA.OB.OC}{2ABC}}} .$

c’est-à-dire en substituant

$\mathrm {\frac {OA.OB.OC}{\sqrt {{\overline {OB}}^{2}.{\overline {OC}}^{2}+{\overline {OC}}^{2}.{\overline {OA}}^{2}+{\overline {OA}}^{2}.{\overline {OB}}^{2}}}} ,$

ou encore

$p=\mathrm {\frac {1}{\sqrt {{\frac {1}{{\overline {OA}}^{2}}}+{\frac {1}{{\overline {OB}}^{2}}}+{\frac {1}{{\overline {OC}}^{2}}}}}}$

ce qui donnera, en introduisant pour $\mathrm {OA,OB,OC,}$ valeurs (4),

$p={\frac {\sqrt {d}}{\sqrt {a\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)+b\left(\alpha '^{2}+\beta '^{2}+\gamma '^{2}\right)+c\left(\alpha ''^{2}+\beta ''^{2}+\gamma ''^{2}\right)}}}$

Mais on a, dans le cas présent

$\left.{\begin{aligned}&\alpha ^{2}\ \ +\beta ^{2}\ \,+\gamma ^{2}\ =1,\\&\alpha '^{2}\ +\beta '^{2}\,+\gamma '^{2}\,=1,\\&\alpha ''^{2}+\beta ''^{2}+\gamma ''^{2}=1\,;\end{aligned}}\right\}\quad (5)$

donc cette expression se réduit simplement à

$p={\frac {\sqrt {d}}{\sqrt {a+b+c}}},$

quantité constante ; de sorte qu’on a ce théorème :

THÉORÈME II. Les triangles inscrits à une surface du second ordre, faces hypothénusales d’une suite de tétraèdres rectangles, ayant pour sommet commun de l’angle droit trièdre le centre de cette surface, sont tous tangens à une même sphère.

On peut toujours supposer $d$ positif, et conséquemment le numérateur réel ; la sphère ne sera donc réelle qu’autant que $a+b+c$ sera une quantité positive ; ce qui, en particulier, aura toujours lieu pour l’ellipsoïde.