Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 13/Trigonométrie, article 2

Sommation de diverses séries de sinus et de cosinus d’arcs multiples ; par MM. Pagani Michel, M…s, Stein, C. G. et Querret.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 13, 1823 (p. 105-114).

Solution du problème d’analise transcendante proposé
à la page 321 du XII.^e volume des Annales ;

Par MM. Pagani Michel, ingénieur à Genève,
Par MM. M…s, à Berlin,
Par MM. C. G., à Grenoble,
Par MM. Stein, à Berlin, professeur au collége de Trêves, ancien
élève de l’école polytechnique,
Par MM. Et Querret, chef d’institution à St-Malo.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

PROBLÈME. On demande la somme finie de la suite infinie

$1+{\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .4x}{1.2.3.4}}+\ldots ?$

Solution. La plupart des solutions qu’on a données de ce problème reviennent pour le fond à ce qu’il suit.

Si, dans le terme général,

${\frac {a^{n}\operatorname {Cos} .nx}{1.2.3\ldots n}},$

on met pour $\operatorname {Cos} .nx$ sa valeur connue

$\operatorname {Cos} nx={\frac {\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)^{n}+\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)^{n}}{2}},$

en faisant, pour abréger,

$a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)=p,\qquad a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)=q,$

ce terme général deviendra

${\frac {1}{2}}.{\frac {p^{n}+q^{n}}{1.2.3\ldots n}}\,;$

donc la suite proposée est la somme de deux autres dont les termes généraux sont respectivement

${\frac {1}{2}}.{\frac {p^{n}}{1.2.3\ldots n}},\qquad {\frac {1}{2}}.{\frac {q^{n}}{1.2.3\ldots n}}\,;$

or, ces suites sont connues et sont les développemens respectifs de

${\frac {1}{2}}e^{p},\qquad {\frac {1}{2}}e^{q},\qquad \,;$

donc, en désignant par $S$ la somme de la suite proposée, on aura

$2S=e^{p}+e^{q},$

ou, en remettant pour $p$ et $q$ les fonctions dont ils sont les symboles,

$2S=e^{a\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}+e^{a\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}\,;$

ou bien encore

$2S=e^{a\operatorname {Cos} .x}\left(e^{+{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}+e^{-{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}\right)\,;$

mais on sait que

$e^{+{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}+e^{-{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}=2\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .x)\,;$

donc enfin

$S=e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .x).$

M. Querret déduit ce résultat d’un théorème très-général. Si l’on sait, dit-il, sommer la suite

$A_{0}+A_{1}a+A_{2}a^{2}+A_{3}a^{3}+A_{4}a^{4}+\ldots \qquad$(1)

dans laquelle $A_{0},A_{1}a,A_{2},\ldots$ sont supposés des coefficiens numériques, et qu’on en représente la somme par $\operatorname {f} (a)\,;$ on aura

${\frac {\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]+\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]}{2}}$

pour la somme de la série

$A_{0}+A_{1}a\operatorname {Cos} .x+A_{2}a^{2}\operatorname {Cos} .2x+A_{3}a^{3}\operatorname {Cos} .3x+\ldots \qquad$(2)

et

${\frac {\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]-\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]}{2{\sqrt {-1}}}}$

pour la somme de la série

$A_{0}+A_{1}a\operatorname {Sin} .x+A_{2}a^{2}\operatorname {Sin} .2x+A_{3}a^{3}\operatorname {Sin} .3x+\ldots \qquad$(3)

En effet, suivant la signification donnée à la caractéristique, $\operatorname {f} ,$ en changeant successivement $a$ en

$a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\quad$et$\quad a(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x),$

on a

$\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]$

pour la somme de la série

$A_{0}+A_{1}a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)+A_{2}a^{2}\left(\operatorname {Cos} .2x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2x\right)+\ldots \quad \mathrm {(} 4)$

et

$\operatorname {f} \left[a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]$

pour la somme de la série

$A_{0}+A_{1}a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)+A_{2}a^{2}\left(\operatorname {Cos} .2x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .2x\right)+\ldots \quad \mathrm {(} 5)$

or, la série (2) est la somme des séries (4, 5) divisée par $2\,;$ et la série (3) est la différence de ces mêmes séries, divisée par $2{\sqrt {-1}},$ donc la somme de la série (2) doit être la somme des séries (4, 5) divisée par $2\,;$ et la série (3) doit être la différence de ces mêmes séries, divisée par $2{\sqrt {-1}}.$

L’application à la série proposée est facile ; on a, comme l’on sait,

$e^{a}=1+{\frac {a}{1}}+{\frac {a^{2}}{1.2}}+{\frac {a^{3}}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots \,;$

donc $e^{a}=\operatorname {f} (a)\,;$ donc la somme de la série

$1+{\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .4x}{1.2.3.4}}+\ldots$

sera, d’après ce qui précède,

$S={\frac {e^{a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)}+e^{a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)}}{2}},$

ou

$S={\frac {e^{a\operatorname {Cos} .x}\left(e^{+{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}+e^{-{\sqrt {-1}}a\operatorname {Sin} .x}\right)}{2}}\,;$

c’est-à-dire

$S=e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .x),$

comme ci-dessus ; résultat qu’on peut mettre aussi sous la forme

${\frac {e^{ae^{+x{\sqrt {-1}}}}+e^{ae^{-x{\sqrt {-1}}}}}{2}}$

M. C. G. observe qu’au surplus le résuItat

$e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .x)=1+{\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{1.2.3}}+\ldots$

peut se vérifier immédiatement par le développement. On en effet, que

$e^{a\operatorname {Cos} .x}=1+{\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .4x}{1.2.3.4}}+\ldots \,;$

$\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .x)=$

$1-{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}x}{1.2}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .^{4}x}{1.2.3.4}}-{\frac {a^{6}\operatorname {Sin} .^{6}x}{1.2.3\ldots 6}}+{\frac {a^{8}\operatorname {Sin} .^{8}x}{1.2.3\ldots 8}}+\ldots \,;$

multipliant ces équations membre à membre, ordonnant le second membre du produit par rapport à $a,$ et faisant attention qu’en général

$\operatorname {Cos} .nx=\operatorname {Cos} .^{n}x-{\frac {n}{1}}{\frac {n-1}{2}}\operatorname {Sin} .^{2}x\operatorname {Cos} .^{n-2}x$

$+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}.{\frac {n-3}{4}}.\operatorname {Sin} .^{4}x\operatorname {Cos} .^{n-4}x-\ldots$

il viendra

$e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .x)=$

$1+{\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .4x}{1.2.3.4}}+\ldots \quad (\alpha )$

M. Stein observe que, par le même procédé, on se convsincra facilement que

$e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Sin} .(a\operatorname {Sin} .x)={\frac {a\operatorname {Sin} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3x}{1.2.3}}+\ldots \,;\quad (\beta )$

nous observerons, à notre tour, qu’en changeant $x$ en ${\frac {1}{2}}\varpi -x,$ on déduit de ces formules

$e^{a\operatorname {Sin} .x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Cos} .x)=$

$1+{\frac {a\operatorname {Sin} .x}{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{1.2}}-{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3x}{1.2.3}}+\ldots \quad (\gamma )$

$e^{a\operatorname {Sin} .x}.\operatorname {Sin} .(a\operatorname {Cos} .x)=$

${\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2x}{1.2}}-{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{1.2.3}}-{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .4x}{1.2.3.4}}+\ldots \quad (\delta )$

M. Querret déduit bien facilement le premier de ces trois derniers développemens de sa formule générale. En continuant, en effet de faire $\operatorname {f} (a)=e^{a},$ la série (3) deviendra

${\frac {a\operatorname {Sin} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3x}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .4x}{1.2.3.4}}+\ldots$

dont la somme sera conséquemment

${\frac {e^{a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)}-e^{a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)}}{2{\sqrt {-1}}}},$

ou bien

${\frac {e^{a\operatorname {Cos} .x}.\left(e^{+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x}-e^{-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x}\right)}{2{\sqrt {-1}}}},$

ou enfin

$e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Sin} .(a\operatorname {Sin} .x).$

M. C. G. observe que la formule

$e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .x)=$

$1+{\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .4x}{1.2.3.4}}+\ldots$

a cela de très-remarquable qu’elle renferme, comme cas particuliers, les développemens, tant des exponentiels que des fonctions circulaires. Si, en effet, on y fait successivement $x=0$ et $x={\frac {1}{2}}\varpi ,$ on trouve

${\begin{aligned}&e^{a}=1+{\frac {a}{1}}+{\frac {a^{2}}{1.2}}+{\frac {a^{3}}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}}{1.2.3.4}}+\ldots ,\\\\&\operatorname {Cos} .a=1-{\frac {a^{2}}{1.2}}+{\frac {a^{4}}{1.2.3.4}}-{\frac {a^{6}}{1.2.3\ldots 6}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

la formule

$e^{a\operatorname {Cos} .x}.\operatorname {Sin} .(a\operatorname {Sin} .x)=$

${\frac {a\operatorname {Sin} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3x}{1.2.3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .4x}{1.2.3.4}}+\ldots$

donnera pareillement, en faisant $x={\frac {1}{2}}\varpi ,$

$\operatorname {Sin} .a={\frac {a}{1}}-{\frac {a^{3}}{1.2.3}}+{\frac {a^{5}}{1.2.3.4.5}}-{\frac {a^{7}}{1.2.3\ldots 7}}+\ldots$

M. Stein remarque, à son tour, que, connaissant la série proposée, on en peut déduire les sommes d’autres séries également remarquables. En y changeant, par exemple, $x$ en $2x,$ il vient

$e^{a\operatorname {Cos} .2x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .2x)=$

$1+{\frac {a\operatorname {Cos} .2x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .4x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .6x}{1.2.3}}+\ldots \,;$

or, le terme général ${\frac {a^{n}\operatorname {Cos} .2nx}{1.2.3\ldots n}}$ de cette nouvelle série peut également être mis sous les deux formes

${\frac {a^{n}}{1.2.3\ldots n}}-{\frac {2a^{n}\operatorname {Sin} .^{2}nx}{1.2.3\ldots n}},\qquad {\frac {2a^{n}\operatorname {Cos} .^{2}nx}{1.2.3\ldots n}}-{\frac {a^{n}}{1.2.3\ldots n}},$

il viendra donc, en faisant successivement les deux substitution,

$e^{a\operatorname {Cos} .2x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .2x)=\left(1+{\frac {a}{1}}+{\frac {a^{2}}{1.2}}+{\frac {a^{3}}{1.2.3}}+\ldots \right)$

$-2\left({\frac {a\operatorname {Sin} .^{2}x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .^{2}3x}{1.2.3}}+\ldots \right)$

$e^{a\operatorname {Cos} .2x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .2x)=$

$2\left({\frac {a\operatorname {Cos} .^{2}x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .^{2}3x}{1.2.3}}+\ldots \right)$

$+2-\left(1+{\frac {a}{1}}+{\frac {a^{2}}{1.2}}+{\frac {a^{3}}{1.2.3}}+\ldots \right)\,;$

d’où on tirera, en transposant et remplaçant l’une des séries par sa valeur $e^{a},$

${\frac {a\operatorname {Sin} .^{2}x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .^{2}2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .^{2}3x}{1.2.3}}+\ldots =$

${\frac {e^{a}-e^{a\operatorname {Cos} .2x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .2x)}{2}},$

$1+{\frac {a\operatorname {Cos} .^{2}x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}2x}{1.2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .^{2}3x}{1.2.3}}+\ldots =$

${\frac {e^{a}+e^{a\operatorname {Cos} .3x}.\operatorname {Cos} .(a\operatorname {Sin} .2x)}{2}},$

M. Stein remarque encore que, par des moyens semblables à ceux qui ont été appliqués à la série proposée, on parviendrait aussi à sommer la série

${\frac {a\operatorname {Sin} .x}{1}}+{\frac {a^{2}\operatorname {Sin} .2x}{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Sin} .3x}{3}}+{\frac {a^{4}\operatorname {Sin} .4x}{4}}+\ldots ,$

dont le terme général est ${\frac {a^{n}\operatorname {Sin} .nx}{n}}.$ Le résultat serait compliqué d’imaginaires qu’on ne pourrait faire disparaître que par des moyens peu directs ; et on trouverait finalement pour la somme cherchée

$\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {a\operatorname {Sin} .x}{1-a\operatorname {Cos} .x}}\right)\,;$

aussi la série proposée n’est-elle autre chose que la valeur que l’on tire pour $y$ de l’équation

$\operatorname {Tang} .y={\frac {a\operatorname {Sin} .x}{1-a\operatorname {Cos} .x}},$

très-usitée en géodésie.

M. Querret tire de sa méthode générale plusieurs autres sommations. Posant, par exemple, $\operatorname {f} (x)=\operatorname {Log} .(1+a)$ ou

$\operatorname {f} (a)={\frac {a}{1}}-{\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {a^{3}}{3}}-{\frac {a^{4}}{4}}+{\frac {a^{5}}{5}}-\ldots$

il en conclut que la somme de la série

${\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{3}}-{\frac {a^{4}\operatorname {Cos} .4x}{4}}+\ldots$

doit être

${\frac {\operatorname {Log} .\left[1+a\left(\operatorname {Cos} .x+{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]+\operatorname {Log} .\left[1+a\left(\operatorname {Cos} .x-{\sqrt {-1}}\operatorname {Sin} .x\right)\right]}{2}}.$

ou encore

${\frac {\operatorname {Log} .\left(1+2a\operatorname {Cos} .x+a^{2}\right)}{2}}\,;$

de sorte qu’on a

$\operatorname {Log} .\left(1+2a\operatorname {Cos} .x+a^{2}\right)=$

$2\left({\frac {a\operatorname {Cos} .x}{1}}-{\frac {a^{2}\operatorname {Cos} .2x}{2}}+{\frac {a^{3}\operatorname {Cos} .3x}{3}}-\ldots \right).$

En faisant successivement $a=+1$ et $a=-1,$ il vient

$\operatorname {Log} .(1+\operatorname {Cos} .x)=$

$-\operatorname {Log} .2+2\left({\frac {\operatorname {Cos} .x}{1}}-{\frac {\operatorname {Cos} .2x}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}-{\frac {\operatorname {Cos} .4x}{4}}+\ldots \right),$

$\operatorname {Log} .(1-\operatorname {Cos} .x)=$

$-\operatorname {Log} .2-2\left({\frac {\operatorname {Cos} .x}{1}}+{\frac {\operatorname {Cos} .2x}{2}}+{\frac {\operatorname {Cos} .3x}{3}}+{\frac {\operatorname {Cos} .4x}{4}}+\ldots \right),$

développemens donnés par Euler (Voyez son Calcul intégral tom. I, à la fin du chap. VI) ; il en déduit ensuite

${\begin{aligned}&\operatorname {Log} .\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}x=-\operatorname {Log} .2+\operatorname {Cos} .x-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cos} .2x+{\tfrac {1}{3}}\operatorname {Cos} .3x-{\tfrac {1}{4}}\operatorname {Cos} .4x+\ldots \\&\operatorname {Log} .\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}x=-\operatorname {Log} .2-\operatorname {Cos} .x-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cos} .2x-{\tfrac {1}{3}}\operatorname {Cos} .3x-{\tfrac {1}{4}}\operatorname {Cos} .4x-\ldots \\&\operatorname {Log} .\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}x=-2\left(\operatorname {Cos} .x+{\tfrac {1}{3}}\operatorname {Cos} .3x+{\tfrac {1}{5}}\operatorname {Cos} .5x+{\tfrac {1}{7}}\operatorname {Cos} .7x+\ldots \right)\end{aligned}}$