Solution partielle du problème de géométrie énoncé
à la page 288 du XIIe volume du présent recueil ;
MM. A. L. Boyer et
Ch. Sturm.
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PROBLÈME. Déterminer, en fonction des quatre côtés d’un quadrilatère rectiligne inscrit au cercle, 1.o l’angle de deux côtés opposés ; 2.o l’angle des deux diagonales ?
Solution. Soient, comme dans le mémoire de la page 269 du XIIe volume, les quatre côtés consécutifs du quadrilatère, et les deux diagonales ; la première se terminant aux sommets et la seconde aux sommets on aura, comme alors,
en outre, en posant
nous aurons
Mais les prolongemens des côtés opposés et forment avec le côté un triangle dans lequel l’angle opposé à ce côté est précisément l’angle cherché de deux côtés opposés ; en supposant donc, pour fixer les idées, nous aurons
d’où
ce qui donnera, en substituant,
ou, en réduisant
tel est le sinus de l’angle des deux côtés opposés et on trouverait de même
Si l’on cherche les cosinus des mêmes angles, on trouvera
ou, en substituant,
ou, en développant et réduisant
et on trouvera de même
De là on déduit
ou, en décomposant, divisant par et extrayant la racine quarrée
et on aurait de même
et, comme on a
il viendra, en substituant,
et de là encore
formules très-commodes pour le calcul par logarithmes.
Passons à la recherche de l’angle des diagonales ; pour cela remarquons que ces diagonales divisent le quadrilatère en quatre triangles dont la somme des aires sera, en appelant et les deux segmens de et et les deux segmens de
mais il a été prouvé, dans le mémoire cité que l’aire de ce quadrilatère a aussi pour expression
donc
mais on a
donc finalement
De là on conclura facilement
et ensuite
d’où
et, par suite
formule très-commode pour le calcul par logarithmes.[1]