Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 11/Analise algébrique, article 2

Note sur la résolution d’une classe particulière d’équations algébriques ; par M. Berndtson.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 11, 1821 (p. 373-375).

ANALISE ALGÉBRIQUE.

Note sur la résolution d’une classe particulière
d’équations algébriques ;

Par M. Bernard Berndtson, officier civil au département
de la guerre de S. M. Suédoise ;

Communiquée au Rédacteur des Annales,

Par M. Berzelius, secrétaire perpétuel de l’académie des
sciences de Stockholm.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Lettre de M. Berzelius au Rédacteur,

Monsieur,

La note ci-jointe m’a été remise par un zélé mathématicien de mes amis, pour vous être adressée. L’auteur se trouverait heureux si vous la jugiez digne d’une place dans vos Annales.

Agréez, etc.

Stockholm, le 17 mars 1821.

Note de M. Berndtson.

Le soussigné a l’honneur de donner avis à M. le Rédacteur des Annales de mathématiques que, s’étant proposé de résoudre l’équation

$x^{2n+1}-x-k=0,$

dans laquelle $n$ est un nombre entier positif et où $k$ est une quantité réelle positive quelconque ; il a trouvé, par une méthode spéciale, appropriée aux divers cas particuliers que renferme cette formule générale ; qu’en posant

$a={\sqrt[{2n+1}]{1+k}},\quad b=+{\sqrt[{2n}]{1+{\frac {k}{a}}}},\quad c=+{\sqrt[{2n}]{1+{\frac {k}{b}}}}\,;$

la seule racine réelle positive que puisse avoir cette équation est exactement exprimée par la formule

$x={\frac {b^{2}-ac}{2b-(a+c)}}.$

De cette détermination générale de la racine réelle positive de l’équation il suit, pour les cas particuliers, que cette racine sera celle de l’équation

$x^{3}-x-k=0,$

si l’on pose

$a={\sqrt[{3}]{1+k}},\quad b=+{\sqrt {1+{\frac {k}{a}}}},\quad c=+{\sqrt {1+{\frac {k}{b}}}}\,;$

quelle sera celle de l’équation

$x^{5}-x-k=0,$

si l’on pose

$a={\sqrt[{3}]{1+k}},\quad b=+{\sqrt[{4}]{1+{\frac {k}{a}}}},\quad c=+{\sqrt[{4}]{1+{\frac {k}{b}}}}\,;$

et ainsi de suite.

L’exposition, des faits analitiques qui ont amené le résultat qu’on vient de faire connaître ne parait guère susceptible, à raison des développemens qu’elle exigerait, de trouver place dans un recueil périodique ; mais l’auteur s’engage à communiquer ces faits aux géomètres qu’ils pourraient particulièrement intéresser^[1].

1. Dans l’ignorance où nous sommes des considérations qui ont pu conduire l’auteur à ce singulier résultat, nous aurions désiré d’offrir du moins à nos lecteurs une vérification simple de ses formules ; mais, même pour le cas particulier du troisième degré, les calculs sont trop longs et offrent trop peu d’intérêts pour mériter de trouver place ici. Nous nous bornerons donc à remarquer que depuis long-temps nous avons observé que, quels que soient $a,b,m,$ l’une des racines de l’équation
   $x^{m}-ax-b=0,$

   peut être indistinctement exprimée par l’une ou l’autre des deux formules prolongées à l’infini

   $x={\sqrt[{m}]{b+a{\sqrt[{m}]{b+a{\sqrt[{m}]{b+\ldots }}}}}}$
   
   
   $x={\sqrt[{m-1}]{a+{\frac {b}{\sqrt[{m-1}]{a+{\frac {b}{\sqrt[{m-1}]{a+{\frac {b}{\sqrt[{m-1}]{a+\ldots }}}}}}}}}}}$

   Ces résultats sont, comme l’on voit, du genre de ceux qu’a présenté M. Shmidten dans un précédent mémoire.

   J. D. G.