QUESTIONS RÉSOLUES.
Recherches sur le premier des deux problèmes de
géométrie proposés à la page 36 de ce volume ;
Par un Abonné.
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Avant de nous occuper de la solution de ce problème, nous
en généraliserons un peu l’énoncé, en le présentant ainsi qu’il suit :
PROBLÈME. Quelle est la courbe enveloppe de l’espace parcouru par une droite mobile, de grandeur invariable, constamment inscrite à une courbe plane donnée ? Quel est le lieu du sommet de l’angle mobile et variable, circonscrit à la même courbe, dont cette droite est la corde de contact ?
La difficulté du problème réside essentiellement dans sa première
partie ; mais, bien qu’elle ne soit au fond qu’une pure difficulté de
calcul, elle n’en paraît pas moins d’une nature assez grave ; et c’est
peut-être cela seulement qui donne au problème quelque degré
d’intérêt ; c’est une sorte d’énigme dont l’énoncé est très-court et très-clair ; mais dont le mot n’en est guère, pour cela, plus facile à
découvrir. Nous allons essayer d’en pousser d’abord la solution aussi
loin qu’elle puisse aller sans rien statuer sur la nature de la courbe
donnée ; nous appliquerons ensuite nos formules générales au
problème particulier qui avait été proposé. Nous nous attacherons principalement à donner à nos calculs et à leurs résultats une symétrie
trop souvent négligée, et faute de laquelle le calculateur se décourage aisément, parce que ses formules ne lui offrent aucun moyen
de reconnaître les méprises qu’il a pu commettre.
Solution. Supposons que la courbe donnée, rapportée à deux
axes rectangulaires quelconques, ait pour équation
(1)
et soit la longueur de la corde mobile donnée.
Faisons, pour abréger, les coefficiens différentiels partiels
(2)
de manière que l’équation différentielle de la courbe soit
(3)
Considérons la corde dans une situation déterminée quelconque.
Soient alors ses deux extrémités, nous aurons
(I)
et, en différentiant,
(4)
De plus, puisque cette corde est constamment inscrite à la courbe nous devrons avoir
c’est-à-dire, pour abréger,
et par suite
(5)
Présentement, l’équation de la corde considérée comme droite
indéfinie, passant par les deux points est
(IV)
dans laquelle les quatre paramètres
n’équivalent
proprement qu’à un seul, puisqu’ils se trouvent liés par les trois
relations (I, II, III). La différentielle de cette dernière équation
est d’ailleurs, en considérant à la fois comme
variables, et comme constans,
(6)
Suivant donc la théorie des enveloppes (exposée à la page 361
du III.me volume de ce recueil), l’équation de la courbe demandée
sera le résultat de l’élimination de
entre les quatre équations (I, II, III, IV) et leurs
différentielles ; c’est-à-dire, entre les huit équations (I, II, III, IV,
4, 5, 6). À la vérité, elles ne sont qu’en nombre égal à celui
des quantités à éliminer ; mais on doit remarquer que les quantités
qui n’entrent qu’au premier degré dans les
équations qui les renferment, se trouvent en affecter tous les termes ;
de sorte que l’élimination de trois quelconques d’entre elles entraîne
d’elle-même celle de la quatrième ; on obtiendra donc ainsi une équation finale en
qui, jointe aux quatre
équations (I, II, III, IV), suffira pour éliminer ces quatre coordonnées ; et leur élimination conduira à une équation en qui sera l’équation demandée.
Procédons donc à l’élimination de
En
substituant, dans les équations (4, 6), les valeurs de
tirées
des équations (5), elles deviendront
lesquelles, étant multipliées en croix, donneront, en réduisant,
(V)
et telle est la dernière des cinq équations du problème, entre
lesquelles il faudra éliminer les quatre quantités
pour parvenir à l’équation de la courbe demandée.
La manière la plus commode d’employer ces équations sera d’éliminer d’abord entre elles
il est aisé de comprendre que,
dans les trois équations résultantes,
entreront symétriquement ; de sorte qu’en posant
on pourra les faire disparaître, et réduire ainsi le calcul à l’élimination de
entre les trois équations résultantes.
Comme on passe très-facilement de l’ellipse à l’hyperbole et à la
parabole, il nous suffira de considérer la première de ces trois
courbes. Soit donc son équation
d’où
on trouvera, d’après cela, pour les cinq équations du problème,
L’élimination entre ces équations ne pouvant être que très-laborieuse, nous passerons de suite au cas du cercle, pour lequel on
doit avoir les équations sont alors
En égalant le premier facteur de la dernière équation à zéro, on aurait
équation qui, combinée avec les équations (II, III), donnerait
d’où ou la courbe cherchée
serait la courbe donnée elle-même, dans le premier cas, et dans
le second, elle se réduirait à un point placé à l’origine : ce ne sont
donc ici que des solutions particulières, de la nature de celles qui
ont été signalées, par M. Poncelet, à la page 229 du présent volume.
Rejetant donc ce premier facteur, l’équation (V) deviendra
(V)
cette équation, combinée avec l’équation (IV), donnera
substituant ces valeurs dans les trois premières équations, elles deviendront
des deux dernières on tire
c’est-à-dire que
sont racines d’une même équation du second
degré. On a, d’après cela,
et en quarrant
mettant cette valeur dans la première équation, elle deviendra
qui est, en effet, la véritable solution du problème.
Pour deuxième exemple, prenons l’hyperbole équilatère ayant
pour équation
qui donne
Les équations du problème seront
(V)
Si, au moyen des équations (II, III), on chasse des trois autres, elles deviendront,
Posant alors
d’où
il viendra, en substituant
et la question sera réduite à éliminer et entre ces trois équations.
Tirant donc de la seconde valeur de pour la substituer dans les deux autres, elles deviendront
mettant, pour abréger, pour elles se changeront en celles-ci
Faisant encore, pour abréger,
elles deviendront
éliminant, au moyen des multiplications successives, méthode
préférable à toutes les autres, comme la plus simple et la plus
symétrique, il viendra
en remettant pour les fonctions de et que ces lettres représentent, on obtiendrait l’équation de la courbe cherchée ; mais on voit que, sauf les réductions, cette équation serait du 16.me degré. Il est sans doute fort probable que cette équation se trouverait compliquée de facteurs étrangers ; mais on conçoit que ces facteurs ne seraient point aisés à découvrir.
En conséquence, nous nous bornerons au seul cas où l’hyperbole
équilatère dégénère en deux droites perpendiculaires l’une à l’autre ;
on a dans ce cas et les deux équations du 4.me degré en
prennent cette forme
Si, dans la dernière, on posait la première donnerait
d’où résulterait équation de l’axe des il faut donc
poser
d’où
valeur qui, substituée dans la première, donne
On voit, par la complication de cette équation, quelle aurait dû
être celle de l’équation qui aurait répondu au cas général.
Pour dernier exemple, nous prendrons la parabole ayant pour équation
nous aurons ainsi
en conséquence, les équations du problème seront
Si, au moyen des équations (II, III), on élimine
et des trois autres, elles deviendront
posant
d’où
on aura ainsi, en substituant
mettant dans la première et la troisième la valeur de tirée de la seconde, il viendra
équations entre lesquelles il n’est plus question que d’éliminer
mais il est aisé de voir que l’équation finale pourra monter au 8.me degré.
Cependant, comme la courbe ne peut être, dans le cas présent ;
que d’une nature très-simple, on doit croire que cette équation finale contiendra quelque facteur étranger, appartenant à une ou
plusieurs solutions particulières du problème ; et l’on voit ici l’inconvénient de nos procédés d’élimination qu’a signalé ailleurs M. Poncelet. (Voyez la page 230 de ce volume).
Il ne paraît pas qu’on puisse éluder ces difficultés, tant que
l’on conservera le même mode d’opérer ; mais on peut tenter d’autres
voies pour parvenir au but. Reprenons l’équation de l’ellipse
(1)
soit
(2)
l’équation d’une droite indéterminée ; en la combinant avec la première, on trouvera pour les coordonnées de leurs intersections
en exprimant donc que la corde interceptée est égale à on aura l’équation de relation
(3)
au moyen de laquelle l’équation (2) deviendra celle d’une tangente
à la courbe cherchée. Mais l’équation d’une tangente à une courbe,
en un point est, comme l’on sait,
ou
en exprimant donc que cette équation est identique avec l’équation (2), il viendra
substituant ces valeurs dans l’équation (3), en supprimant les accents
devenus désormais inutiles, on aura, pour l’équation différentielle
de la courbe cherchée, en supprimant toutefois le facteur
évidemment superflu,
(5)
Il s’agirait présentement de savoir quel est le plus facile de l’intégration de cette équation ou de l’élimination à laquelle nous avions d’abord réduit le problème.
Mais, de tous les moyens de parvenir au but, le plus brief,
s’il n’était en même temps le plus difficile, serait, sans contredit,
de deviner, d’après les conditions du problème, la nature de la
courbe cherchée, de former une équation hypothétique de cette
courbe, dans laquelle on introduirait des coefficiens indéterminés,
et d’assigner ensuite les valeurs de ces coefficiens par la considération
de divers cas particuliers.
Dans le cas où, par exemple, au lieu d’une courbe donnée, on
a deux droites perpendiculaires entre elles ; en considérant, 1.o que
ces deux droites doivent être des diamètres principaux de la courbe
cherchée ; 2.o qu’aux valeurs
doivent répondre respectivement
ou
on est conduit à soupçonner que l’équation de cette courbe pourrait bien
être de la forme
si l’on remarque ensuite que, pour les valeurs égales de
et de on doit avoir
d’où
et
on aura
ou
d’où
ce qui donne, comme nous l’avons déjà trouvé,
Voilà ce qu’il s’agirait de faire pour l’ellipse, à moins que quelqu’un n’imagine une voie plus commode encore pour parvenir au but.