Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 06/Trigonométrie, article 2

Recherche de la relation entre les six arcs de grands cercles qui joignent, deux à deux, quatre points de la surface d’une sphère ; par M. Bérard.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 6, 1816 (p. 253-255).

TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE.

Recherche de la relation entre les six arcs de grands
cercles qui joignent, deux à deux, quatre points de
la surface d’une sphère ;

Par M. Bérard, principal et professeur de mathématiques
du collège de Briançon, membre de plusieurs sociétés
savantes.

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M. Bret a donné, dans ce recueil^[1], et MM. Français^[2] et Carnot^[3] avaient donné avant lui l’équation de relation entre les six arcs de grands cercles qui joignent, deux à deux, quatre points de la surface d’une sphère ou, ce qui revient au même, l’équation de relation entre les six angles que forment, deux à deux, quatre droites parlant d’un même point et non situées dans un même plan. Je suis parvenu, de mon côté, à cette équation, par les considérations suivantes qui m’ont paru assez simples pour mériter d’être rendues publiques.

Soient $\mathrm {OA,OB,OC,OD}$ quatre droites indéfinies, partant d’un même point $\mathrm {O} ,$ et ayant d’ailleurs des directions quelconques dans l’espace. Soient faits

${\begin{aligned}Ang.\mathrm {BOC} =a,&\quad Ang.\mathrm {DOA} =a',\\Ang.\mathrm {COA} =b,&\quad Ang.\mathrm {DOB} =b',\\Ang.\mathrm {AOB} =c,&\quad Ang.\mathrm {DOC} =c'.\\\end{aligned}}$

Par $\mathrm {OA,OB,OC}$ prises deux à deux soient conduits trois plans. Soit prise sur $\mathrm {OD}$ une partie $\mathrm {OR} =r,$ et par le point $\mathrm {R}$ soient conduits trois nouveaux plans respectivement parallèles aux premiers ; ils formeront avec eux un parallélipipède dont $r$ sera la diagonale ; désignons par $x,y,z$ respectivement, les arêtes de ce parallélipipède qui répondent à $\mathrm {OA,OB,OC}$ ; nous aurons ainsi

${\begin{aligned}\operatorname {Ang} .(y,z)=a,&\quad \operatorname {Ang} .(r,x)=a',\\\operatorname {Ang} .(z,x)=b,&\quad \operatorname {Ang} .(r,y)=b',\\\operatorname {Ang} .(x,y)=c,&\quad \operatorname {Ang} .(r,z)=c'.\\\end{aligned}}$

Or, il est connu que la projection d’une droite sur une autre est le produit de cette droite par le cosinus de son inclinaison sur l’autre ; en considérant donc les divers quadrilatères gauches que forment les arêtes consécutives $x,y,z$ avec la diagonale $r,$ il viendra

$r=x\operatorname {Cos} .a'+y\operatorname {Cos} .b'+z\operatorname {Cos} .c'\,;\qquad$(1)

$\left.{\begin{aligned}&x=r\operatorname {Cos} .a'-y\operatorname {Cos} .c-z\operatorname {Cos} .b,\\&y=r\operatorname {Cos} .b'-z\operatorname {Cos} .a-x\operatorname {Cos} .c,\\&z=r\operatorname {Cos} .c'-x\operatorname {Cos} .b-y\operatorname {Cos} .a.\\\end{aligned}}\right\}(2)$

Des trois dernières on tire

$x=r.{\frac {\operatorname {Sin} .^{2}a\operatorname {Cos} .a'-\operatorname {Cos} .b'(\operatorname {Cos} .c-\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b)-\operatorname {Cos} .c'(\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .c\operatorname {Cos} .a)}{1-\operatorname {Cos} .^{2}a-\operatorname {Cos} .^{2}b-\operatorname {Cos} .^{2}c+2\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c}},$

$y=r.{\frac {\operatorname {Sin} .^{2}b\operatorname {Cos} .b'-\operatorname {Cos} .c'(\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c)-\operatorname {Cos} .a'(\operatorname {Cos} .c-\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b)}{1-\operatorname {Cos} .^{2}a-\operatorname {Cos} .^{2}b-\operatorname {Cos} .^{2}c+2\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c}},$

$x=r.{\frac {\operatorname {Sin} .^{2}c\operatorname {Cos} .c'-\operatorname {Cos} .a'(\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .c\operatorname {Cos} .a)-\operatorname {Cos} .b'(\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c)}{1-\operatorname {Cos} .^{2}a-\operatorname {Cos} .^{2}b-\operatorname {Cos} .^{2}c+2\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c}},$

substituant donc ces valeurs dans l’équation (1), divisant par $r$ et chassant le dénominateur commun, on obtiendra

$1-\operatorname {Cos} .^{2}a-\operatorname {Cos} .^{2}b-\operatorname {Cos} .^{2}c+2\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c$

$=\left\{{\begin{aligned}&\quad \operatorname {Sin} .^{2}a\operatorname {Cos} .^{2}a'-2\operatorname {Cos} .b'\operatorname {Cos} .c'(\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .c)\\&+\operatorname {Sin} .^{2}b\operatorname {Cos} .^{2}b'-2\operatorname {Cos} .c'\operatorname {Cos} .a'(\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .c\operatorname {Cos} .a)\\&+\operatorname {Sin} .^{2}c\operatorname {Cos} .^{2}c'-2\operatorname {Cos} .a'\operatorname {Cos} .b'(\operatorname {Cos} .c-\operatorname {Cos} .a\operatorname {Cos} .b)\\\end{aligned}}\right\}$; (3)

qui est précisément la relation donnée par MM. Bret, Carnot et Français.

1. Tome V, page 334.
2. Voyez la page 221 de ce volume.
3. Mémoire sur la relation entre cinq points dans l’espace, page 35.