Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 06/Géométrie élémentaire, article 6

Autre solution des mêmes problèmes ; par M. Durrande.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 6, 1816 (p. 278-279).

QUESTIONS RÉSOLUES.

Solution des deux problèmes de géométrie proposés à
la page 356 du V.^e volume des Annales ;^[1]

Par M. J. B. Durrande.

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Problème I. Construire un triangle dans lequel on connaît seulement les distances des sommets au centre du cercle inscrit ?

Solution. Tout se réduit évidemment à trouver le rayon du cercle inscrit. Soit donc $R$ ce rayon ; soient $\mathrm {A,B,C}$ les sommets du triangle et $a,b,c$ leurs distances respectives aa centre du cercle ; on aura

$R=a\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} ,\qquad R=b\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} ,\qquad R=c\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} \,;\qquad$(1)

mais on sait que, $\mathrm {A,B,C}$ étant les trois angles d’un triangle, on a

$2\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} \operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} \operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} +\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} +\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} +\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} -1=0\,;$

substituant dans cette dernière équation les valeurs données par les équations (1), il viendra, toutes réductions faites,

$2abbR^{3}+\left(b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}\right)R^{2}-a^{2}b^{2}c^{2}=0.$

En mettant cette équation sous la forme

$a^{2}b^{2}c^{2}\left({\frac {1}{R}}\right)^{3}-\left(b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}\right)\left({\frac {1}{R}}\right)^{2}-2abc=0.$

et considérant ${\frac {1}{R}}$ comme l’inconnue, elle sera sans second terme.

PROBLÈME II. Construire un triangle dans lequel on connaît seulement les distances des côtés au centre du cercle circonscrit ?

Solution. Tout se réduit encore évidemment ici à trouver le rayon du cercle circonscrit. Soit donc $R$ ce rayon ; soient $\mathrm {A,B,C}$ les sommets du triangle et $a,b,c$ les perpendiculaires abaissées respectivement du centre du cercle sur les côtés qui leur sont respectivement opposés ; on aura

$R\operatorname {Cos} .\mathrm {A} =a,\quad R\operatorname {Cos} .\mathrm {B} =b,\quad R\operatorname {Cos} .\mathrm {C} =c\,;\qquad$(1)

on aura de plus

$1-\operatorname {Cos} .^{2}\mathrm {A} -\operatorname {Cos} .^{2}\mathrm {B} -\operatorname {Cos} .^{2}\mathrm {C} -2\operatorname {Cos} .\mathrm {A} \operatorname {Cos} .\mathrm {B} \operatorname {Cos} .\mathrm {C} =0\,;$

substituant donc, dans cette dernière équation, les valeurs données par les équations (1), elle deviendra, toutes réductions faites,

$R^{3}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)R-2abc=0\,;$

équation du troisième degré sans second terme.

1. Ces problèmes ont déjà été résolus à la page 129 de ce volume ; mais les solutions que l’on va lire nous ont paru différer assez des premières pour mériter d’être mentionnées.
   J. D. G.