DYNAMIQUE.
Véritable solution du problème de la tractoire ;
Par feu
Français, professeur aux écoles d’artillerie.
[1]
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
Problème. Sur un plan horisontal, on a pratiqué une rainure rectiligne, dans laquelle un corps est assujetti à se mouvoir uniformément. Ce corps est lié, par une verge inflexible et inextensible, avec le corps qui pose sur le plan, et qui est supposé avoir reçu une impulsion primitive quelconque, dans le sens de ce plan. On demande la nature de la courbe décrite par le corps et les autres circonstances du mouvement, en faisant d’ailleurs abstraction du frottement ?
Solution. Soit prise pour axe des la droite que le corps est assujetti à parcourir, et pour axe des une perpendiculaire quelconque à cette droite.
Soient à l’époque et les coordonnées du point et l’abscisse du point ; le mouvement rectiligne de ce dernier point ne pourra être que l’effet d’une force accélératrice, dirigée suivant l’axe des et troublée par la réaction de sur Soit cette force accélératrice.
L’équation générale du mouvement sera donc, en supposant la variable indépendante,
[2]
ou simplement, à cause de constant,
(1)
En désignant par la longueur de la verge, la liaison des parties du système sera exprimée par l’équation unique
(2)
laquelle donnera
d’où
(3)
substituant donc cette valeur dans l’équation (1), elle deviendra
(4)
et devant alors être indépendans, on aura séparément
(5)
d’où, l’élimination de on conclura
(6)
Puisque est constant, cherchons à obtenir une équation en
et Pour cela, différentions deux fois consécutivement l’équation (2) ; il viendra ainsi
or, l’équation (6) donne
égalant donc ces deux valeurs, il viendra, toutes réductions faites,
(7)
équation qui a pour intégrale
(8)
Cette dernière équation, intégrée de nouveau, donne
ou bien, en remettant pour sa valeur donnée par l’équation (2)
(9)
Pour déterminer les constantes et supposons d’abord que la vitesse constante de soit ; de manière qu’on ait En mettant cette valeur dans l’équation (8), elle deviendra
(10)
Supposons ensuite qu’à l’origine des temps le point, soit à l’origine des coordonnées, et que la verge forme alors un angle avec l’axe des Supposons de plus que la vitesse initiale de parallèlement à l’axe des soit en sorte que pour et on ait ; l’équation (10) deviendra ainsi
d’où
L’intégrale seconde (9), rapportée au même état initial, devient
d’où
On a ainsi
(11)
C’est l’équation demandée de la courbe décrite par les corps On voit que cette courbe est une cycloïde générale, rapportée à la droite parcourue par le centre du cercle générateur ; ce cercle a pour rayon la longueur de la verge ; son centre est l’extrémité de cette verge, et le rapport des vitesses de translation du centre et de rotation des points de la circonférence autour de ce centre est celui de à ; de manière que la cycloïde sera allongée ordinaire ou raccourcie, suivant qu’on aura ou
L’équation (11) contient, comme une des données, la vitesse initiale de dans le sens des ; on aurait pu y introduire sa vitesse dans le sens des. Si, en effet, l’on met dans l’intégrale première (8) pour sa valeur, , on aura
Soit ensuite la vitesse initiale de dans le sens de en sorte qu’on ait cette équation deviendra d’où
introduisant donc cette valeur dans l’équation de la courbe, elle deviendra
(12)
de sorte qu’il y a entre les vitesses initiales et la relation
L’équation (11) est en défaut, lorsqu’on a ; mais alors on emploie l’équation (12) qui devient
De même, si l’équation (12) est en défaut ; mais alors l’équation (11) devient
Pour déterminer la vitesse de en un point quelconque de la courbe, nous avons les équations
donc
Ainsi, suivant qu’on aura ou on aura aussi
ou
Il est aisé de voir que ce sont là la plus petite et la plus grande vitesses du point ; la première a lieu au point le plus haut et la seconde au point le plus bas de chaque cycloïde donc, dans la cycloïde ordinaire, pour laquelle on a la vitesse du point est nulle, chaque fois qu’il parvient à son maximum d’élévation, et elle est double de celle du point chaque fois qu’il parvient à son maximum d’abaissement.[3]
Le temps se trouve par la formule laquelle donne
et, comme on a en même temps et il s’ensuit que ce qui donne
(13)
Ainsi, lorsque on a
étant un nombre entier positif quelconque ; d’où il suit que le temps employé a parcourir une cycloïde entière est
La force accélératrice ; mais
d’où
et, comme on a d’ailleurs
il s’ensuit qu’on doit avoir
ce qui donne, pour la valeur initiale de