ASTRONOMIE.
Essai d’une nouvelle solution des principaux problèmes
d’astronomie ;
Par M. Kramp, professeur, doyen de la faculté des
sciences de l’académie de Strasbourg.
≈≈≈≈≈≈≈≈≈
1. Soient,
le temps périodique d’une planète ;
le demi-grand axe ;
le demi-petit axe ;
l’excentricité ;
l’anomalie vraie ;
l’anomalie de l’excentrique ;
le temps, compté depuis l’aphélie ; ce qui donne
pour l’anomalie moyenne. On parviendra de
à
et de là à
moyennant les équations connues
![{\displaystyle {\frac {2\varpi t}{p}}=\phi '+\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Sin} .\phi ',\quad \operatorname {Sin} .\phi '={\tfrac {\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Sin} .\phi }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }},\quad \operatorname {Cos} .\phi '={\tfrac {\operatorname {Cos} .\phi -\operatorname {Sin} .\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e951a385ede01411b4670382ea5132ec60107df5)
2. PROBLÈME I. Connaissant le temps
et par conséquent l’anomalie moyenne
; on demande l’anomalie vraie
exprimée par une série disposée selon les puissances ascendantes de l’excentricité
, telle que
; les coefficiens
étant des fonctions de
qui ne renferment point
et qu’il s’agit de déterminer ?
À cet énoncé, on reconnaît le Problème de Kepler. Pour le résoudre, on a employé jusqu’ici la série
Ici les coefficiens
étaient des séries, ordonnées selon les puissances ascendantes de l’excentricité ; convergentes, à la vérité, mais pourtant infinies, et qui ne sont sommables
dans aucun cas. Les coefficiens de la nôtre seront des expressions finies ; et elle se trouvera ainsi exempte du défaut de l’autre.
3. Solution. Le premier terme est ce que devient
dans le cas de
ce qui donne
. Ainsi
. Les autres coefficiens seront ce que deviennent, dans ce même cas de
les coefficiens différentiels partiels
pris en regardant
comme la seule variable, et le temps
comme exempt de différentiation. Cherchons d’abord l’équation différentielle complète entre
et
4. De
ou de
![{\displaystyle 0=\operatorname {Sin} .\phi '-\operatorname {Sin} .\phi '\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi -\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Sin} .\phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80059fbb6d64df645bdb16c3477a3af57bfe85b)
on tire en différentiant
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\operatorname {d} \lambda (\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi \operatorname {Sin} .\phi '-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Sin} .\phi )\\0&-\operatorname {d} \phi (\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Sin} .\phi \operatorname {Sin} .\phi '-\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )\\0&-\operatorname {d} \phi '\operatorname {Cos} .\phi '(1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38af55e04d1ec84a58a503bb917720adba72f136)
En mettant à la place de
et de
leurs expressions en
et en
cette équation deviendra divisible par
et fournira, après les réductions
![{\displaystyle \operatorname {d} \phi '={\frac {\operatorname {d} \lambda \operatorname {Sin} .\phi +\operatorname {d} \phi \operatorname {Cos} .\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef53ec2bfcdf5bd925b29a8c2493a5a31a24093)
L’autre équation
![{\displaystyle {\frac {2\varpi t}{p}}=\phi '+\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Sin} .\phi ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e83e3da5ecbb1e20355915a84e1adc39c6e1daa6)
donne, après avoir été différentiée et réduite
![{\displaystyle \operatorname {d} \phi '=-\operatorname {d} \lambda \operatorname {Sin} .\phi +{\frac {2\varpi \operatorname {d} t}{p}}.{\frac {1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }{\operatorname {Cos} .^{2}\lambda }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ce3d9b146a67a8e581992c05048a5478f9193e2)
Égalant entre elles les deux expressions de
on aura une équation entre les trois différentielles
, d’après laquelle
![{\displaystyle \operatorname {d} \phi ={\frac {2\varpi (1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )^{2}}{p\operatorname {Cos} .^{3}\lambda }}\operatorname {d} t-{\frac {\operatorname {Sin} .\phi (2-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )}{\operatorname {Cos} .\lambda }}\operatorname {d} \lambda \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/370bbe20ef4c14015c53a01b959c4915cb425ccd)
d’où il résulte
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}}\right)&={\frac {2\varpi }{p}}.{\frac {(1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )^{2}}{\operatorname {Cos} .^{3}\lambda }},\\\left({\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \lambda }}\right)&=-{\frac {\operatorname {Sin} .\phi (2-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )}{\operatorname {Cos} .\lambda }}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57a00bddd33e25e4ccf09f7a967d1b173b4bea04)
5. Considérant ici le temps
et l’anomalie vraie
comme les seules variables, on aura l’équation très-connue
![{\displaystyle \operatorname {d} t={\frac {p\operatorname {Cos} .^{3}\lambda \operatorname {d} \phi }{2\varpi (1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13d9ba9aef2558d25a476aa3e6afb4f3eb08191f)
d’où l’on pourrait tirer, sur-le-champ, l’anomalie vraie
moyennant une série ordonnée d’après les sinus des angles multiples de l’anomalie moyenne. Mais, si l’on regarde
comme la seule variable, et le temps
comme exempt de différenciation, on aura d’abord
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} t}}=-{\frac {\operatorname {Sin} .\phi (2-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )}{\operatorname {Cos} .\lambda }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81b396490b712b821b08557b32a2ebce0b84eb26)
pour le premier de nos rapports différentiels partiels. Faisons ici
on aura
et
Il en résulte
; et tel est le coefficient du second terme de la série.
6. Pour faciliter les différentiations ultérieures, et les développemens qui, dès le troisième terme deviennent assez compliqués, faisons
et
; ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \lambda }}=-{\frac {\operatorname {Sin} .\phi }{\operatorname {Cos} .\lambda }}(2-xy),\quad {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} \lambda }}=\operatorname {Cos} .\lambda ,\quad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} \lambda }}={\frac {\operatorname {Sin} .^{2}\phi }{\operatorname {Cos} .\lambda }}(2-xy).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b9423ee4ba2bf78a0c86f6cde27fa26fb54e188)
Remarquons, de plus, que le rapport différentiel
est constamment de la forme
la lettre
désignant une fonction entièrement algébrique, ordonnée selon les puissances ascendantes de
et de
Si l’on désigne par
la différentielle de celle fonction
on aura, après les réductions
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{n+1}\phi }{\operatorname {d} \lambda ^{n+1}}}={\frac {\operatorname {Sin} .\phi }{\operatorname {Cos} .^{n+1}\lambda }}\left\{z\left(nx-2y+xy^{2}\right)+P\left(1-x^{2}\right)+Q\left(2-xy-2y^{2}+xy^{3}\right)\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c51c7ced8de53fe3145564771b2d9c88788c9cb)
Ainsi, pour trouver ces coefficiens, il faudra effectuer les multiplications ; c’est la seule difficulté qu’il restera à surmonter.
7. D’après cela, pour passer du premier
au second
on aura
d’où il résulte
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}\phi }{\operatorname {d} \lambda ^{2}}}={\frac {\operatorname {Sin} .\phi }{\operatorname {Cos} .^{2}\lambda }}\left(5y-x^{2}y-6xy^{2}+2x^{2}y^{3}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5a0e77ec4734b61eb50cf260fa066757194af9e)
On en tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}n=2\ ;\ z&=5y-x^{2}y-6xy^{2}+2x^{2}y^{3},\\P&=-2xy-6y^{2}+4xy^{3},\\Q&=5-x^{2}-12xy+6x^{2}y^{2},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f472a4b2709931a8a187109be9bb1c30a835462a)
donc
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{3}\phi }{\operatorname {d} \lambda ^{3}}}={\frac {\operatorname {Sin} .\phi }{\operatorname {Cos} .^{3}\lambda }}\left\{{\begin{aligned}&10-2x^{2}+21xy-26y^{2}+x^{3}y\\+&22x^{2}y^{2}+50xy^{3}-8x^{3}y^{3}-34x^{2}y^{4}+8x^{3}y^{5}\\\end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2d306c2f3f9095dad05c22ba795664e7a1e306d)
Faisant ensuite
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}z&=10-2x2+21xy-26y^{2}+x^{3}y+22x^{2}y^{2}+50xy^{3}-8x^{3}y^{3}-34x^{2}y^{4}+8x^{3}y^{5},\\P&=-4x-21y+3x^{2}y+44xy^{2}+50y^{3}-24x^{2}y^{3}-68xy^{4}+24x^{2}y^{5},\\Q&=-21x-52y+x^{3}+44x^{2}y+150xy^{2}-24x^{3}y^{2}-136x^{2}y^{3}+40x^{3}y^{4}\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bd0dde9793a8fac7f08b818f689ef67bef1643e)
d’où il résulte
![{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} ^{4}\phi }{\operatorname {d} \lambda ^{4}}}={\tfrac {\operatorname {Sin} .\phi }{\operatorname {Cos} .^{4}\lambda }}\left\{{\begin{aligned}&-16x-145y+74x^{2}y+412xy^{2}+206y^{3}\\&-x^{4}y-76x^{3}y^{2}-520x^{2}y^{3}-546xy^{4}+26x^{4}y^{3}\\&+288x^{3}y^{4}+564x^{2}y^{5}-72x^{4}y^{5}-266x^{3}y^{6}+48x^{4}y^{7}\\\end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca3a1f1608af6aba79a19bbe60100ed38d736792)
Et ainsi des autres.
8. Il ne reste donc qu’à faire, dans tous ces rapports différentiels,
et par conséquent
On aura
![{\displaystyle B=-2\operatorname {Sin} .A,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6fd9b8b712263280dbf1c92713be8e944619461)
![{\displaystyle {\begin{aligned}2C&=+5\operatorname {Sin} .A\operatorname {Cos} .A,\\6D&=+\operatorname {Sin} .A\left(10-26\operatorname {Cos} .^{2}A\right),\\24E&=-\operatorname {Sin} .A\operatorname {Cos} .A\left(145-206\operatorname {Cos} .^{2}A\right),\\120F&=-\operatorname {Sin} .A\left(306-2228\operatorname {Cos} .^{2}A+2194\operatorname {Cos} .^{4}A\right),\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cf03e2c65b14cad798583d50212614e9395ede3)
et ainsi des autres. On aura
La série, ordonnée selon les puissances ascendantes de la petite fraction angulaire
est convergente par elle-même ; et les coefficiens nutnériques qui accompagnent les puissances de
ne mettent aucun obstacle à cette convergence.
9. La série donnée par l’illustre auteur de la Mécanique céleste (tome I, page 181), est
![{\displaystyle \phi =A+\left(2e-{\tfrac {1}{4}}e^{3}+{\tfrac {5}{96}}e^{5}\right)\operatorname {Sin} .A+\left({\tfrac {5}{4}}e^{2}-{\tfrac {31}{24}}e^{4}+{\tfrac {17}{192}}e^{6}\right)\operatorname {Sin} .2A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5ddf3aba53774c6bd681d75b581257ed486326f)
![{\displaystyle +\left({\tfrac {13}{12}}e^{3}-{\tfrac {43}{64}}e^{5}\right)\operatorname {Sin} .3A+\left({\tfrac {103}{96}}e^{4}-{\tfrac {451}{480}}e^{6}\right)\operatorname {Sin} .4A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6054263e47fed6cd95762351fd7569046bd9396)
![{\displaystyle +{\tfrac {1097}{960}}e^{5}\operatorname {Sin} .5A+{\tfrac {1223}{960}}e^{6}\operatorname {Sin} .6A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e439e2b69b02532ad9e7149396902cd522ab2be9)
Pour la transformer dans la nôtre, il suffira de mettre à la place de
les formules connues, ordonnées selon les puissances ascendantes de
; il faudra faire de plus
et changer enfin les signes de
et de toutes ses puissances impaires, attendu que, dans notre formule, les anomalies sont comptées, non du périhélie, mais de l’aphélie. On reconnaîtra bientôt ainsi l’identité absolue entre l’une et l’autre.
10. Faisant, dans cette formule,
ou
on aura
Etsî l’on fait
il résultera
.
On aura donc
et telle est aussi, à très-peu près, la plus grande équation du centre.
11. PROBLÈME II. On demande d’exprimer le rayon vecteur
par une série analogue à la précédente, savoir
le demi-grand axe étant supposé égal à l’unité ?
12. Solution. On a, par la théorie connue de l’ellipse,
![{\displaystyle r={\frac {\operatorname {Cos} .^{2}\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15cb46e52b9549b69c1da3fa3bb5b37c1500e20b)
Le premier terme de la série étant ce que devient
dans le cas de
c’est-à-dire, égal à l’unité ; pour trouver
, faisons encore
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}x&=\operatorname {Sin} .\lambda ,\\y&=\operatorname {Cos} .\phi \,;\\\end{aligned}}\right\}\quad {\text{d’où}}\quad \left\{{\begin{aligned}\operatorname {d} x&=\operatorname {d} \lambda \operatorname {Cos} .\lambda ,\\\operatorname {d} y&=-\operatorname {d} \phi \operatorname {Sin} .\phi \,;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf5bcc2d6560f8c940bcb58b7d92caeec68d3b6d)
donc
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} \lambda }}=\operatorname {Cos} .\lambda ,\quad {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} \lambda }}={\frac {\operatorname {Sin} .^{2}\phi }{\operatorname {Cos} .\lambda }}(2-xy),\quad {\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \lambda }}=-{\frac {\operatorname {Sin} .\phi }{\operatorname {Cos} .\lambda }}(2-xy)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36728d247191c5388043e71bbe0d07e7bb1edc4d)
de plus
![{\displaystyle r={\frac {1-x^{2}}{1-xy}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ac5a6afb526325547f47a9fc3a3d4b78ee50e7c)
d’où, on conclura, après les réductions, la formule très-simple ![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} \lambda }}=y\operatorname {Cos} .\lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1873fc89798175556dac36880a664b3b990203)
13. Pour effectuer, avec facilité, les différentiations ultérieures, remarquons que le rapport différentiel
aura généralement la forme
la lettre
désignant un polynôme ordonné selon les puissances ascendantes de
et de
et dont la différentielle complète pourra être supposée
Il en résultera, après les réductions, le rapport suivant
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{n+1}r}{\operatorname {d} \lambda ^{n+1}}}={\frac {(n-2)zx+P(1-x^{2})+Q(2-xy-2y^{2}+xy^{3})}{\operatorname {Cos} .^{n-2}\lambda }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0be7a811deab6b8cb97281f2bc2ded02139d178)
Aidé de cette formule générale, on passera facilement d’un rapport différentiel à l’autre ; les multiplications à faire seront la seule difficulté qu’il faudra surmonter.
Ainsi, ayant eu
on aura d’abord, par la différentiation,
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}r}{\operatorname {d} \lambda ^{2}}}=2-2xy-2y^{2}+xy^{3}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c04fbf4add25c10c1be4c91e5dc5297941539af4)
et dès lors on pourra se servir de la formule générale. Pour trouver
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}n=2\ ;\ z&=2-2xy-2y^{2}+xy^{3},\\P&=-2y+y^{3},\\Q&=-2x-4y+3xy^{2},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6555b21df264bc4d169cd1c8416f557bb03db3eb)
d’où on conclura
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{3}r}{\operatorname {d} \lambda ^{3}}}={\frac {1}{\operatorname {Cos} .\lambda }}.\left\{{\begin{aligned}&-4x-10y+4x^{2}y+14xy^{2}\\&+9y^{3}-6x^{2}y^{3}-10xy^{4}+3x^{2}y^{5}\\\end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c373101366b92c48744dae032ed6d760a96539de)
Par un semblable procédé, on fera ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}z&=-4x-10y+4x^{2}y+14xy^{2}+9y^{3}--x^{2}y^{3}-10xy^{4}+3x^{2}y^{5},\\P&=-4+8xy+14y^{2}-12xy^{3}-10y^{4}+6xy^{5},\\Q&=-10+4x^{2}+28xy+27y^{2}-18x^{2}y^{2}-40xy^{3}+15x^{2}y^{4}\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e9712e42dccd42ac5b590c0bb25fc82aa14eb7)
d’où on conclura
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{4}r}{\operatorname {d} \lambda ^{4}}}={\frac {1}{\operatorname {Cos} .^{2}\lambda }}\left\{{\begin{aligned}&-24+8x^{2}+64xy+88y^{2}-8x^{3}y\\&-72x^{2}y^{2}-176xy^{3}-64y^{4}+28x^{3}y^{3}+134x^{2}y^{4}\\&+113xy^{5}-36x^{3}y^{5}-70x^{2}y^{6}+15x^{3}y^{7}\\\end{aligned}}\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/817116307fd107924ec10a3ad1abb641a0cee4ef)
et ainsi du reste.
14. Ainsi donc, pour trouver les coefficiens de la série
, il faudra voir ce que deviendront ces rapports différentiels
dans le cas de
qui donne
, et
et l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}B&=+\operatorname {Cos} .A,\\2C&=+2-2\operatorname {Cos} .^{2}A,\\6D&=-10\operatorname {Cos} .A+9\operatorname {Cos} .^{3}A,\\24E&=-24+88\operatorname {Cos} .^{2}A-64\operatorname {Cos} .^{4}A,\\120F&=+416\operatorname {Cos} .A-1040\operatorname {Cos} .^{3}A+625\operatorname {Cos} .^{5}A\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6efc537101f82c8df6d539fcad4ceed15a172017)
et ainsi des autres.
15. Dans le cas de
on aura
et
, ou bien,
Dans le cas de
on aura
et
ou bien,
Il est presque superflu de remarquer que
ces deux expressions
sont effectivement celles
des distances du foyer de l’ellipse à ses deux apsides. Faisant enfin
on aura,
et
ou bien,
Ainsi, le rayon vecteur qui répond au quart
de la révolution est une fonction algébrique de la quantité angulaire
16. Nous nous proposerons, en troisième lieu, de déterminer, pour
un temps quelconque proposé, la longitude géocentrique d’une planète, moyennant une série double, ordonnée selon les puissances
ascendantes des excentricités de la planète et de la terre. L’extrême
complication des calculs auxquels nous conduit le développement des
coefficiens nous oblige à faire une supposition qui heureusement
est admissible, et qui ne restreint en aucune manière la généralité
du problème. Nous supposerons que, la terre étant dans l’aphélie
de son orbite, la planète soit en même temps à une très-petite
distance de l’une de ses deux apsides. De pareilles époques sont toujours
assignables, et leurs retours doivent former des périodes que l’on
peut déterminer avec toute la précision qu’on désire. Soient, en
effet,
et
les durées des révolutions anomalistiques des deux
planètes et
leurs anomalies vraies, pour une époque quelconque.
Il est clair que la première des deux planètes passera par l’une
de ses apsides au bout d’un temps égal à
tandis que
l’autre passera par l’un des siens au bout d’un temps
: les
deux nombres
étant des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs. Donc, pour déterminer une des époques où les
deux planètes auront été ou seront, à la fois, dans l’une de leurs apsides, il faudra déterminer les deux nombres entiers
et
de manière qu’ils remplissent le plus exactement que possible la condition
![{\displaystyle {\frac {\alpha +m\varpi }{2\varpi }}p={\frac {\beta +n\varpi }{2\varpi }}q,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e98cb5369eb2541fd40fb8b12bb2524060244bb1)
ou
![{\displaystyle \quad mp-nq={\frac {\beta q-\alpha p}{\varpi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/013bf62f0fb745eb87d1a9da5247e2e385ae9ed8)
et l’on sent que la solution de cette question ne peut présenter de difficulté.
17. PROBLÈME III. On demande, pour un temps quelconque proposé, la longitude géocentrique d’une planète généralement exprimée par une série double, ordonnée selon les puissances ascendantes des excentricités de l’orbite de la planète et de celle de la terre ?
18. Solution. Supposons que la terre et la planète ayant quitté au même instant leurs aphélies
(fig.1), soient arrivées, au bout du temps
aux points
de leurs orbites respectives.
en désignant par
le foyer commun ou le centre du soleil, et supposant que la ligne des équinoxes soit
, l’angle
sera la longitude géocentrique de la planète. Désignons de plus ;
par
et
les durées des révolutions anomalistiques,
par
et
les demi-grands axes des deux orbites,
par
et
leurs demi-petits axes,
par
et
leurs excentricités,
par
et
les longitudes
des deux aphélies,
par
et
les deux anomalies vraies
, à l’époque
par
et
les deux anomalies de l’excentrique,
par
et
les deux rayons vecteurs
et enfin par
la longitude géocentrique demandée
19. Les deux longitudes héliocentriques seront ainsi les angles
et l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {EFP} =\alpha -\phi ,\qquad \mathrm {EFQ} =\beta -\psi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9085fe5da18ac8b47b5927e4820ddf21a74dc67b)
ce qui donne
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\nu \!\nu ={\frac {s\operatorname {Sin} .(\beta -\psi )-r\operatorname {Sin} .(\alpha -\phi )}{s\operatorname {Cos} .(\beta -\psi )-r\operatorname {Cos} .(\alpha -\phi )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5406a4c5ec5c7e1c76b56e9c288293ecff86195a)
On aura de plus, pour les deux rayons vecteurs
et
ou
et ![{\displaystyle s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d131dfd7673938b947072a13a9744fe997e632)
![{\displaystyle r={\frac {a\operatorname {Cos} .^{2}\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }},\qquad s={\frac {b\operatorname {Cos} .^{2}\mu }{1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15d96b7b9ba3656bab5eb3bb4caf606048ab2e6d)
On aura enfin les équations, déjà employées dans le premier problème, par lesquelles on passe de l’anomalie vraie à l’anomalie moyenne, et réciproquement : savoir,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sin} .\phi '={\frac {\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Sin} .\phi }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }},&\qquad \operatorname {Sin} .\psi '={\frac {\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\psi }{1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi }},\\\operatorname {Cos} .\phi '={\frac {\operatorname {Cos} .\phi -\operatorname {Sin} .\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi }},&\qquad \operatorname {Cos} .\psi '={\frac {\operatorname {Cos} .\phi -\operatorname {Sin} .\lambda }{1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi }},\\{\frac {2\varpi t}{p}}=\phi '+\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Sin} .\phi '\,;&\qquad {\frac {2\varpi t}{q}}=\psi '+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\psi .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c954f4a3bead3a226b220420c4f92ab67e3b1c62)
20. Comme on demande pour
une série double, ordonnée selon les puissances ascendantes des deux excentricités, telle que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nu \!\nu =A+B\lambda +C\lambda ^{2}+D\lambda ^{3}&+\ldots \\+B'\mu +C'\lambda \mu +D'\lambda ^{2}\mu &+\ldots \\+C''\mu ^{2}+D''\lambda \mu ^{2}&+\ldots \\+D'''\mu ^{3}&+\ldots \\&+\ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe7652ac400c61aa45d9404d07712c14839e7370)
on voit que son premier terme
sera ce que devient l’angle
dans le cas de
; ce qui donne
; d’où il résulte
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .A={\frac {a\operatorname {Sin} .(\alpha -{\frac {2\varpi t}{p}})-b\operatorname {Sin} .(\beta -{\frac {2\varpi t}{q}})}{a\operatorname {Cos} .(\alpha -{\frac {2\varpi t}{p}})-b\operatorname {Cos} .(\beta -{\frac {2\varpi t}{q}})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70d21eb971a2a0e6f7367c5ee3c89ecb60f1684c)
21. Les deux coefficiens qui suivent,
et
, seront ce que deviennent les deux rapports différentiels
, dans la même supposition de
; et l’on voit que la différentiation doit
porter uniquement sur les deux excentricités
et
et que le temps, doit être regardé comme exempt de différentiation. On aura ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \lambda }}=-{\frac {\operatorname {Sin} .\phi (2-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )}{\operatorname {Cos} .\lambda }},&\quad {\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} \lambda }}=a\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi ,\\{\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} \mu }}=-{\frac {\operatorname {Sin} .\psi (2-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi )}{\operatorname {Cos} .\mu }}\,;&\quad {\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} \mu }}=b\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Cos} .\psi .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d169e5d9f7a6f2c198794eae79196659f46a6524)
22. Enfin, de l’expression de
donnée ci-dessus, on tire l’expression générale de
ainsi qu’il suit
![{\displaystyle \operatorname {d} \nu \!\nu ={\frac {\begin{aligned}-r^{2}\operatorname {d} \phi +rs\operatorname {d} \phi &\operatorname {Cos} .(\alpha -\beta -\phi +\psi )-s\operatorname {d} r\operatorname {Sin} .(\alpha -\beta -\phi +\psi )\\-s^{2}\operatorname {d} \psi +rs\operatorname {d} \psi &\operatorname {Cos} .(\alpha -\beta -\phi +\psi )+r\operatorname {d} r\operatorname {Sin} .(\alpha -\beta -\phi +\psi )\\\end{aligned}}{r^{2}-2rs\operatorname {Cos} .(\alpha -\beta -\phi +\psi )+s^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c8f9554ef67ed4f2d1c43dd7a87fcc49158df49)
ce qui donnera, pour les deux coefficiens partiels ![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \nu \!\nu }{\operatorname {d} \lambda }},\ {\frac {\operatorname {d} \nu \!\nu }{\operatorname {d} \mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8869428dc9f4b899bf9ba57d75a5adc4a1b2df9d)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \nu \!\nu }{\operatorname {d} \lambda }}={\frac {\operatorname {Cos} .\lambda }{r^{2}-2rs\operatorname {Cos} .(\alpha -\beta -\phi +\psi )+s^{2}}}\left\{{\tfrac {a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\lambda \operatorname {Sin} .\phi (2-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )}{(1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )^{2}}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dea6ff2ff3b4512efef2c8274d3810fede11df6)
![{\displaystyle -{\frac {ab\operatorname {Cos} .^{2}\mu \operatorname {Sin} .\phi (2-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )}{(1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )(1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi )}}\operatorname {Cos} .(\alpha -\beta -\phi +\psi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c597553c75485d3def1d15ca75744f2c568be2)
![{\displaystyle \left.-{\frac {ab\operatorname {Cos} .^{2}\mu \operatorname {Cos} .\phi }{(1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi )}}\operatorname {Sin} .(\alpha -\beta -\phi +\psi )\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/424c89d31e7203572afd5c2c20ea36d81724ef09)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \nu \!\nu }{\operatorname {d} \mu }}={\frac {\operatorname {Cos} .\mu }{r^{2}-2rs\operatorname {Cos} .(\alpha -\beta -\phi +\psi )+s^{2}}}\left\{{\tfrac {a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\mu \operatorname {Sin} .\psi (2-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi )}{(1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi )^{2}}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd252eb949d9bb26005ec7a4470f8475dc336a6b)
![{\displaystyle -{\frac {ab\operatorname {Cos} .^{2}\mu \operatorname {Sin} .\psi (2-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi )}{(1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi )(1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi )}}\operatorname {Cos} .(\alpha -\beta -\phi +\psi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ef084293f74febb4f2284f917e7c5e1b9f422f)
![{\displaystyle \left.+{\frac {ab\operatorname {Cos} .^{2}\mu \operatorname {Cos} .\psi }{(1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi )}}\operatorname {Sin} .(\alpha -\beta -\phi +\psi )\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/833dbf48be8c59ad29744070366570fd53954f43)
24. Pour en tirer les deux coefficiens
il faudra faire, dans les deux expressions,
on aura ainsi
![{\displaystyle B={\frac {1}{a^{2}-ab\operatorname {Cos} .\left(\alpha -\beta -{\frac {2\varpi t}{p}}+{\frac {2\varpi t}{q}}\right)+b^{2}}}\left\{2a^{2}\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi t}{p}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3cac52d13c854b760320db75ba6d4d08449f117)
![{\displaystyle -2ab\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi t}{p}}\operatorname {Cos} .\left(\alpha -\beta -{\frac {2\varpi t}{p}}+{\frac {2\varpi t}{q}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97b19792e9832aa43d68b8b1c15395d17c85a8ce)
![{\displaystyle \left.-ab\operatorname {Cos} .{\frac {2\varpi t}{p}}\operatorname {Sin} .\left(\alpha -\beta -{\frac {2\varpi t}{p}}+{\frac {2\varpi t}{q}}\right)\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e14eeaeddc1228da5d8f36e0ba4acb87e4df7679)
![{\displaystyle B'={\frac {1}{a^{2}-ab\operatorname {Cos} .\left(\alpha -\beta -{\frac {2\varpi t}{p}}+{\frac {2\varpi t}{q}}\right)+b^{2}}}\left\{2b^{2}\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi t}{q}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/436ede5dd880640bf503a423e510d33795749f1c)
![{\displaystyle -2ab\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi t}{p}}\operatorname {Cos} .\left(\alpha -\beta -{\frac {2\varpi t}{p}}+{\frac {2\varpi t}{q}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97b19792e9832aa43d68b8b1c15395d17c85a8ce)
![{\displaystyle \left.+ab\operatorname {Cos} .{\frac {2\varpi t}{q}}\operatorname {Sin} .\left(\alpha -\beta -{\frac {2\varpi t}{p}}+{\frac {2\varpi t}{q}}\right)\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3797b4cda0efc499b4ee9559ec8a802c2363bf9)
25. La forme, très-compliquée, des deux différentielles partielles
ne permet guère de procéder, avec quelque espérance de succès, au développement des coefficiens ultérieurs ; et nous avouons que la formule que nous venons de trouver ne pourra guère être regardée que comme le résultat d’une première approximation, à laquelle il nous paraît convenable de nous arrêter. Pour trouver la longitude géocentrique, avec une plus grande précision, il faudra encore recourir, dans chaque cas particulier, à l’emploi des tables, et renoncer aux avantages qui pourraient résulter d’une formule générale.
26. Connaissant la position des deux aphélies, ou les angles
; et les deux longitudes héliocentriques
et par conséquent aussi les deux rayons vecteurs
on trouvera la longitude géocentrique, ou l’angle
par la formule
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\mathrm {EHQ} ={\frac {\mathrm {FQ} \operatorname {Sin} .\mathrm {EFQ-FP} \operatorname {Sin} .\mathrm {EFP} }{\mathrm {FQ} \operatorname {Cos} .\mathrm {EFQ-FP} \operatorname {Cos} .\mathrm {EFP} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1dc02356c0c5666803fb27c03ad9605316ed45)
Ici la ligne
rayon vecteur de la terre, peut toujours être regardée comme donnée ; mais, pour trouver
rayon vecteur de la planète, il faut connaître l’anomalie vraie de cette dernière, ou l’angle
qui est lui-même égal à la longitude
de l’aphélie, moins la longitude héliocentrique
; ce qui fait naître une difficulté, lorsque, de la longitude géocentrique, qui est la seule donnée ; tant par les tables que par l’observation, on veut repasser à la longitude héliocentrique. La difficulté sera levée, par la résolution du problème que voici.
27. Connaissant, outre les longitudes des deux aphélies, aussi bien que les grands axes et les excentricités des deux orbites, la longitude géocentrique d’une planète, pour un instant donné, trouver sa longitude héliocentrique ?
Désignons par
l’angle
longitude de l’aphélie de la planète ;
le côté
demi-grand axe,
l’angle
longitude géocentrique de la planète,
le rayon vecteur
l’angle
longitude héliocentrique de la terre,
l’angle
longitude héliocentrique de la planète ;
donc,
![{\displaystyle \operatorname {Ang} .PQF=\nu \!\nu -\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c7f92a3cda968f24cae4b43beb0283c8d7c747)
L’angle
anomalie vraie de la planète, sera
; et l’angle
formera ainsi l’inconnue du problème.
Le triangle
donnera
; donc
Mais, parce que
est un rayon vecteur de l’ellipse ; on a aussi
![{\displaystyle \mathrm {FQ} ={\frac {b\operatorname {Cos} .^{2}\mu }{1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .(B-\theta )}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd8a0bceb0e6ad4a7733b521d9b82b17f57dec69)
donc, si l’on pose, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {b\operatorname {Cos} .^{2}\mu }{{\mathcal {f}}\operatorname {Sin} .(\nu \!\nu -\eta )}}=n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdc30f0406ed6db8bc14d9d128d0f2ff89881e74)
on aura l’équation
![{\displaystyle 1=n\operatorname {Sin} .(\nu \!\nu -\theta )+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .(B-\theta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e499015966f9b9a00099f744d6f00af143f11d88)
Pour la résoudre, il suffira de faire
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\mathrm {K} ={\tfrac {n\operatorname {Cos} .\nu \!\nu -\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .B}{n\operatorname {Sin} .\nu \!\nu +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .B}},\ \mathrm {R} ^{2}=n^{2}+2n\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .(\nu \!\nu -B)+\operatorname {Sin} .^{2}\mu \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c613a10f27bdada6d2ce518e9fc56dd7574244a8)
et l’on aura finalement
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .(\theta +\mathrm {K} )={\frac {1}{\mathrm {R} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/066b1c9867ce601971c7748d1233bb07637087c0)
Le problème sera résolu.
28. PROBLÈME VI. On demande de comprendre les époques des conjonctions et des oppositions d’une planète dans une seule série double, ordonnée selon les puissances ascendantes des deux excentricités ?
29. Solution. Par les mêmes raisons exposées au sujet du précédent problème, le temps, sera compté d’une époque où, la terre étant dans son aphélie en
la planète était très-près de l’une de ses deux apsides
ou
.
Les quantités données du problème seront donc : savoir, les demi-grands axes
des deux orbites ; les deux demi-petits axes
; les deux révolutions anomalistiques,
; enfin l’angle
que les deux grands axes font entre eux, et que nous désignerons par
; et les lettres
et
continueront à désigner les anomalies vraies
des deux planètes au bout du temps
On aura ainsi
; ce qui donne, pour le cas du problème
; la lettre
désignant un nombre entier pris à volonté, pair dans les conjonctions,
impair dans les oppositions. Il en résulte l’équation différentielle
; c’est la première des équations différentielles qui nous conduiront à la connaissance des coefficiens.
30. La série étant supposée de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}t=A+B\lambda +C\lambda ^{2}+D\lambda ^{3}&+\ldots \\+B'\mu +C'\lambda \mu +D'\lambda ^{2}\mu &+\ldots \\C''\mu ^{2}+D''\lambda \mu ^{2}&+\ldots \\+D'''\mu ^{3}&+\ldots \\&+\ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/576331a044dd2e91dd26f0cd6b20977324c9824d)
Le premier terme
sera ce que devient
dans le cas de
or, on a, dans ce cas,
ce qui fournit l’équation
; donc
![{\displaystyle A={\frac {(n\varpi +\epsilon )pq}{2\varpi (q-p)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2284bc7adaab8e38fdfcd5320f98ebbe95df02ab)
Telle est la valeur du premier coefficient de la série.
31. Les coefficiens
seront ce que deviennent, dans le cas de
les deux rapports différentiels partiels
On a trouvé (4), dans le premier problème, pour la différentielle complète de
![{\displaystyle \operatorname {d} \phi ={\frac {2\varpi (1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )^{2}}{p\operatorname {Cos} .^{3}\lambda }}\operatorname {d} t-{\frac {\operatorname {Sin} .\phi (2-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )}{\operatorname {Cos} .\lambda }}\operatorname {d} \lambda \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/370bbe20ef4c14015c53a01b959c4915cb425ccd)
on aura de même, pour la seconde orbite,
![{\displaystyle \operatorname {d} \psi ={\frac {2\varpi (1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi )^{2}}{q\operatorname {Cos} .^{3}\mu }}\operatorname {d} t-{\frac {\operatorname {Sin} .\psi (2-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi )}{\operatorname {Cos} .\mu }}\operatorname {d} \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7eda5f4298a6e0749d04e2e71151638d1a273c3)
Égalant entre elles ces deux différentielles, ce qui est effectivement l’équation de condition (29) des syzygies, on en tirera la différentielle complète de
qui doit répondre à la nature du problème ; ce qui donnera ensuite, pour les rapports différentiels ![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} \lambda }},{\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} \mu }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bc2739072504b0fc677a6d36c5031c5dc5d8520)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} \lambda }}=+{\frac {1}{2\varpi }}.{\frac {pq\operatorname {Cos} .^{2}\lambda \operatorname {Cos} .^{3}\mu \operatorname {Sin} .\phi (2-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )}{q\operatorname {Cos} .^{3}\mu (1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )^{2}-p\operatorname {Cos} .^{3}\lambda (1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi )^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c6daf984307c7c35b0c8125b71527903fa9b22)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} \mu }}=-{\frac {1}{2\varpi }}.{\frac {pq\operatorname {Cos} .^{2}\mu \operatorname {Cos} .^{3}\lambda \operatorname {Sin} .\phi (2-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi )}{q\operatorname {Cos} .^{3}\mu (1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi )^{2}-p\operatorname {Cos} .^{3}\lambda (1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi )^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78ad6011e67461090e837f47cbbabe890a0d6992)
32. Il ne restera qu’à faire, dans ces expressions,
ce qui donne
, pour avoir les deux coefficient
On trouvera ainsi
![{\displaystyle B={\frac {pq\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi A}{p}}}{\varpi (q-p)}},\qquad B'={\frac {pq\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi A}{q}}}{\varpi (q-p)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ecc4d5ab500b3d43fd4056ebcfb93307b17ce6d)
33. Les coefficiens
des termes du second ordre seront ce que deviennent, dans le même cas de
les trois
rapports différentiels partiels
. Faisant, pour abréger
![{\displaystyle P=1-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi ,\qquad Q=1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae10070957362ebda02402165db7bcfc40b05818)
ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {\operatorname {d} P} =-\operatorname {d} \lambda \operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi +\operatorname {d} \phi \operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Sin} .\phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbc7a78ac7690f3e59676b2ad586421ad9ea47b5)
![{\displaystyle \mathrm {\operatorname {d} Q} =-\operatorname {d} \mu \operatorname {Cos} .\psi \operatorname {Cos} .\phi +\operatorname {d} \psi \operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/027488dddd132e0412f4171cfc3a78fb2e6b592d)
on parviendra ainsi à donner une forme un peu plus abrégée aux deux rapports
lesques deviendront
![{\displaystyle 2\varpi \left({\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} \lambda }}\right)=+{\frac {pq\operatorname {Cos} .^{2}\lambda \operatorname {Cos} .^{3}\mu \operatorname {Sin} .\phi (1+P)}{qP^{2}\operatorname {Cos} .^{3}\mu -pQ^{2}\operatorname {Cos} .^{3}\lambda }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fcdf954758016b41d98f7428dea62c5bf72e002)
![{\displaystyle 2\varpi \left({\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} \mu }}\right)=-{\frac {pq\operatorname {Cos} .^{2}\mu \operatorname {Cos} .^{3}\lambda \operatorname {Sin} .\psi (1+Q)}{qP^{2}\operatorname {Cos} .^{3}\mu -pQ^{2}\operatorname {Cos} .^{3}\lambda }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb983169910fd03e245a4bc415f43e87423a2ed)
Mais il est convenable d’abréger encore. Désignons par
le dénominateur commun et les numérateurs de ces deux valeurs, de manière qu’on ait
![{\displaystyle 2\varpi \left({\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} \lambda }}\right)={\frac {M}{F}},\qquad 2\varpi \left({\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} \mu }}\right)=-{\frac {N}{F}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71538bd0b0d4fbb8dcbf25635e91e895d7677b87)
les différentiations partielles nous apprendront que
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} F}{\operatorname {d} \lambda }}\right)=-2qP\operatorname {Cos} .^{3}\mu \operatorname {Cos} .\phi +3pQ^{2}\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .^{2}\lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0170196773ea21c7588775ea4f00d493500b029)
![{\displaystyle +\left({\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \lambda }}\right)\left(2qP\operatorname {Cos} .^{3}\mu \operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Sin} .\phi -2pQ\operatorname {Cos} .^{3}\lambda \operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\psi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dc6d428bbfbae1a3cebefe8ff9d3f1c5941d6f7)
,
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} F}{\operatorname {d} \mu }}\right)=+2pQ\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Cos} .^{3}\lambda \operatorname {Cos} .\psi -3qP^{2}\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .^{2}\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/798070f34c28970ec3fc6c135f0c517b289a5c1f)
![{\displaystyle +\left({\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} \mu }}\right)\left(2qP\operatorname {Cos} .^{3}\mu \operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Sin} .\phi -2pQ\operatorname {Cos} .^{3}\lambda \operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\psi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4535953ec67b0ef460b2ab3d1dc72df6b731f5)
,
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} \lambda }}\right)=-pq\operatorname {Cos} .\lambda \operatorname {Cos} .^{3}\mu \operatorname {Sin} .\phi \left(4\operatorname {Sin} .\lambda +\operatorname {Cos} ^{2}\lambda .\operatorname {Cos} .\phi -2\operatorname {Sin} .^{2}\lambda \operatorname {Cos} .\phi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27a249438a5340dd3c69c6a5db95271e6df56c1c)
![{\displaystyle +\left({\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \lambda }}\right)\left(pq\operatorname {Cos} .^{2}\lambda \operatorname {Cos} .^{3}\mu \left(2\operatorname {Cos} .\phi -\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .^{2}\phi +\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Sin} .^{2}\phi \right)\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea03c94e1aeab85f90f310a4bcd65a0c92627984)
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} \mu }}\right)=-3pq\operatorname {Cos} .^{2}\lambda \operatorname {Cos} .^{2}\mu \operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .\phi \left(2-\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .\phi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b03515ea12da90066f951876c35fef21f6a272e)
![{\displaystyle +\left({\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} \mu }}\right)\left(pq\operatorname {Cos} .^{2}\lambda \operatorname {Cos} .^{3}\mu \left(2\operatorname {Cos} .\phi -\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .^{2}\phi +\operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Sin} .^{2}\phi \right)\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f52d4e641fa7b7b98b19ecb214c5c4fdb48d6427)
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} \lambda }}\right)=-3pq\operatorname {Cos} .^{2}\lambda \operatorname {Sin} .\lambda \operatorname {Cos} .^{2}\mu \operatorname {Sin} .\psi \left(2-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\psi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5847d3a158c4f6fdee108f1d460ff0a85425a37)
![{\displaystyle +\left({\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \lambda }}\right)\left(pq\operatorname {Cos} .^{3}\lambda \operatorname {Cos} .^{2}\mu \left(2\operatorname {Cos} .\psi -\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .^{2}\psi +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .^{2}\psi \right)\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ab5891176ab575c8fb0679266fdfa9a558d46b6)
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} \mu }}\right)=-pq\operatorname {Cos} .^{3}\lambda \operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\psi \left(4\operatorname {Sin} .\mu +\operatorname {Cos} .^{2}\mu \operatorname {Cos} .\psi -2\operatorname {Sin} .^{2}\mu \operatorname {Cos} .\psi \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b68dd990e5e355a05feb9a3896e0291e211d3ff)
![{\displaystyle +\left({\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} \mu }}\right)pq\operatorname {Cos} .^{3}\lambda \operatorname {Cos} .^{2}\mu \left(2\operatorname {Cos} .\psi +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Sin} .^{2}\psi -\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .^{2}\psi \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca77259c8f45069ff44fa398a4ac406db120e0e4)
Reste donc à trouver les expressions littérales de
et
, et à effectuer ensuite les développemens. Or, ayant déjà exprimé
en
et
, de même que
en
et
, on n’aura qu’à substituer, dans l’une de ses expressions, la valeur de
en
et
: on aura ainsi la différentielle complète de
ou
, d’où on conclura
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \lambda }}\right)={\tfrac {p\operatorname {Sin} .\phi \operatorname {Cos} .^{2}\lambda (1+P)Q^{2}}{qP^{2}\operatorname {Cos} .^{3}\mu -pQ^{2}\operatorname {Cos} .^{3}\lambda }},\quad \left({\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} \mu }}\right)=-{\tfrac {q\operatorname {Sin} .\psi \operatorname {Cos} .^{2}\mu (1+Q)P^{2}}{qP^{2}\operatorname {Cos} .^{3}\mu -pQ^{2}\operatorname {Cos} .^{3}\lambda }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55eb008a89a1dd7700801f6cc43390823149b55d)
34. Après avoir effectué ces développemens, on pourra procéder ; sans difficulté, à la détermination des rapports différentiels
.
Ayant
il en résultera
![{\displaystyle 2\varpi F^{2}\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}t}{2\operatorname {d} \lambda ^{2}}}\right)=F\left({\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} \lambda }}\right)-M\left({\frac {\operatorname {d} F}{\operatorname {d} \lambda }}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca7c326e0bfd72f8c0bdca4deab9c9d0aa478b5a)
![{\displaystyle 2\varpi F^{2}\left({\frac {\operatorname {d} ^{2}t}{\operatorname {d} \lambda \operatorname {d} \mu }}\right)=F\left({\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} \mu }}\right)-M\left({\frac {\operatorname {d} F}{\operatorname {d} \mu }}\right)=-F\left({\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} \lambda }}\right)+N\left({\frac {\operatorname {d} F}{\operatorname {d} \lambda }}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec91288d6cdf217343cea0e9575d51ab3df02dc)
35. Ainsi donc, pour trouver les coefficiens
de nos termes du second ordre, il faudra voir ce que deviennent ces rapports différentiels partiels, dans le cas de
On tire de cette supposition ![{\displaystyle P=1,\ Q-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc9d38845c5e49b19c49b7bee783c7f2bdd862f)
et en continuant, par abréviation, d’employer les lettres
et
à la place de leurs valeurs, on aura, dans la même supposition de
,
![{\displaystyle F=q-p,\qquad M=2pq\operatorname {Sin} .\phi ,\qquad N=2pq\operatorname {Sin} .\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92fed0374d72002b6293aa15c8b00c1ac54f12b8)
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} \lambda }}\right)={\frac {2p\operatorname {Sin} .\phi }{q-p}},\qquad \left({\frac {\operatorname {d} \psi }{\operatorname {d} \mu }}\right)=-{\frac {2q\operatorname {Sin} .\psi }{q-p}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b75158c1c3a80967a3175a80940302ce68840bd)
et ensuite
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} F}{\operatorname {d} \lambda }}\right)=-2q\operatorname {Cos} .\phi ,\qquad \left({\frac {\operatorname {d} F}{\operatorname {d} \mu }}\right)=+2p\operatorname {Cos} .\psi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4e53066ba5d079e727f7dbe960bf4856c094ce9)
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} \lambda }}\right)=-{\frac {pq(q-5p)\operatorname {Sin} .\phi \operatorname {Cos} .\phi }{q-p}},\quad \left({\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} \mu }}\right)=-{\frac {4pq^{2}\operatorname {Cos} .\phi \operatorname {Sin} .\psi }{q-p}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e377689f01f9643e5f03d008b01dec69c5d9004)
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} \mu }}\right)=-{\frac {pq(5q-p)\operatorname {Sin} .\psi \operatorname {Cos} .\psi }{q-p}},\quad \left({\frac {\operatorname {d} N}{\operatorname {d} \lambda }}\right)=+{\frac {4p^{2}q\operatorname {Cos} .\psi \operatorname {Sin} .\phi }{q-p}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ca20337ffee1ab5636fbca2db3cf272b105a81)
36. De là on pourra passer immédiatement aux rapports différentiels du second ordre
.
On aura, toujours dans le cas de
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}t}{\operatorname {d} \lambda ^{2}}}={\frac {pq(5p+3q)}{2\varpi (q-p)^{2}}}\operatorname {Sin} .\phi \operatorname {Cos} .\phi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2524d3f9648bccf5836c480ab4a5197d74a61590)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}t}{\operatorname {d} \lambda \operatorname {d} \mu }}=-{\frac {4pq}{2\varpi (q-p)^{2}}}(p\operatorname {Sin} .\phi \operatorname {Cos} .\psi +q\operatorname {Sin} .\psi \operatorname {Cos} .\phi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eebff3abdafd1b7d1c9028bc438b3e47b37a100)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}t}{\operatorname {d} \mu ^{2}}}={\frac {pq(5p+3q)}{2\varpi (q-p)^{2}}}\operatorname {Sin} .\psi \operatorname {Cos} .\psi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d371c1801332ce1ab2174e9f7c2eff644d7607f7)
d’où l’on tire enfin
![{\displaystyle {\begin{aligned}C&={\frac {pq(5p+3q)\operatorname {Sin} .\phi \operatorname {Cos} .\phi }{4\varpi (q-p)^{2}}},\\C'&=-{\frac {8pq(p\operatorname {Sin} .\phi \operatorname {Cos} .\psi +q\operatorname {Sin} .\psi \operatorname {Cos} .\phi )}{4\varpi (q-p)^{2}}},\\C''&={\frac {pq(5q+3p)\operatorname {Sin} .\psi \operatorname {Cos} .\psi }{4\varpi (q-p)^{2}}}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ed7baa650b68485cd9cab69ba6a56adc5b496f)
37. Pour trouver pareillement les coefficiens
des termes du troisième ordre, il faudra différencier de même, par rapport à
et
les rapports différentiels dont nous avons donné la liste (33). Nous n’exécuterons pas ces développemens ; mais la route est tracée, et, en attendant, la série
![{\displaystyle {\begin{aligned}t=A+B\lambda &+C\lambda ^{2}\\+B'\mu &+C'\lambda \mu \\&+C''\mu ^{2},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e151b0c8622cad16c3b87cff323fbb2a6c4e693a)
fera connaître, à peu près, les époques auxquelles il arrivera quelque conjonction ou opposition de la planète à laquelle se rapporte l’ellipse
de la figure.
Nous poursuivrons ces recherches dans un prochain article.