ANALISE ÉLÉMENTAIRE.
Démonstrations du principe qui sert de fondement au
calcul des fonctions symétriques, et de la formule
du Binôme de Newton ;
Par M. Bret, professeur à la faculté des sciences de
l’académie de Grenoble.
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I. Soit représenté le produit des facteurs simples par
(1)
et celui des mêmes facteurs, excepté le premier par
(2)
Il est évident qu’en divisant le polynôme (1) par on produira
le polynôme (2), et que, réciproquement, en multipliant le polynôme (2) par on aura le polynôme (1). De là résultent les équations
(3)
(4)
L’équation (4) démontre que tout ce qui multiplie dans est
; or, d’après la composition des coefficiens
en si dans on prend tous les termes multipliés
par puis successivement ceux multipliés par et
qu’on les ajoute ; on aura ; donc
(5)
le signe indiquant la somme des produits que l’on obtient
en permutant successivement avec chacune des autres lettres.
Cela posé, dans l’équation (5) substituons à sa valeur (3), il viendra
ou
(6)
et, comme sont les racines de l’équation (1), il s’ensuit que la formule (6) détermine les sommes des puissances
semblables de ces racines, savoir : jusqu’à On peut même pousser plus loin le calcul de ces
sommes, en multipliant l’équation (1) par et en appliquant ensuite
la formule (6) à l’équation résultante.[1]
II. L’équation
devient, en supposant
Changeant en on aura
Multipliant cette dernière équation par et, et l’ajoutant à la précédente ; il viendra
ce qui établit une relation entre deux coefficiens consécutifs du polynôme
d’où l’on déduit la formule du binôme.
On peut encore démontrer cette formule d’une manière plus directe ;
il suffit pour cela d’observer que, dans l’équation
le nombre des produits de lettres du premier membre est égal
au nombre des produits de lettres du second membre ; désignant
donc par le nombre des produits différens de lettre qui sont
comptés dans lettres, nous aurons , et par conséquent
la suite d’équations
Effectuant le produit de ces équations, et omettant les facteurs
communs, nous obtiendrons
Si l’on fait maintenant on aura
donc