Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 03/Analise élémentaire, article 2

Observations sur une démonstration donnée par M. du Bourguet du principe qui sert de fondement à la théorie des équations algébriques ; par M. Bret.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 3, 1813 (p. 33-34).

§. 2. Observation sur la démonstration du principe qui sert de fondement à la théorie des équations.^[1]

L’équation $Ax^{n}+Bx^{n-1}+\ldots =y$ établit entre les variables $x,y$ une relation telle qu’à chaque valeur de $x=\alpha ,\alpha ',\alpha '',\ldots$ il correspond une valeur de $y=\beta ,\beta ',\beta ''\ldots .$ Réciproquement, pour $y=\beta$ on doit trouver $x=\alpha ,$ et par conséquent, il existe une série d’opérations à faire sur $y=\beta$ et les coefficîens $A,B,C,\ldots$ de manière à obtenir $x=\alpha$ ou, ce qui revient au même, on a

$\alpha =\phi (A,B,C,\ldots \beta ),$

et on aura pareillement

$\alpha '=\phi '(A,B,C,\ldots \beta '),$

$\alpha ''=\phi ''(A,B,C,\ldots \beta ''),$

. . . . . . . . . . . . . . .

Il s’agirait donc de démontrer que les fonctions $\phi ,\phi ',\phi '',\ldots$ sont les mêmes ou, ce qui revient au même, qu’il faut constamment exécuter sur les différentes valeurs de $y$ la même série d’opérations pour en conclure les valeurs correspondantes de $x$ ; il faudrait prouver en outre qu’à chaque valeur de $y,$ non comprise dans la série $\beta ,\beta ',\beta '',\ldots$ il doit nécessairement correspondre une valeur de $x$ ; or, c’est ce qui ne me paraît pas établi par le raisonnement de M. du Bourguet.

J’ai ouï dire, au surplus, que M. Gauss était parvenu à démontrer que toute équation est décomposable en facteurs réels du second degré au plus, sans supposer la décomposition en facteurs du premier degré. S’il en est ainsi, le principe que M. du Bourguet a eu en vue de démontrer, se trouve être une conséquence toute naturelle de celui-là.

Agréez, etc.

Grenoble, le 7 mai 1812.

1. Voyez la page 338 du 2.^e volume de ce recueil.