Œuvres de Fermat/I/Propositions à Lalouvère
Sit (fig. 112) parabole BAD, cujus axis AC, applicata BC, rectum latus AE. Quaeritur ratio curve AB ad rectam BC.
Esto hyperbole MLO, cujus centrum G, transversum latus FL æquale rectæ AE quse est rectum date paraboles latus; axis hyperboles sit LN, rectum vero illius latus sit aequale lateri transverso, ut nempe rectangulum quodvis FNL sit vequale quadrato applicatae MN. Ad punctum G excitetur perpendicularis GH æqualis rectme BC in parabola; deinde, ductis rectis HM1 et LI, ipsis GN et GH parallelis, per punctum M, in quo recta HM occurrit hyperbolae, ducatur applicata MN.
Aio quadrilaterum MHGL, cujus tria latera sunt reclt MH, HG, GL, quartum vero latus curva hyperboles ML, esse ad rectangulum IG ut curva parabolica AB est ad rectam BC.
Data sit (fig. 113) parabole BAD, cujus axis AC, applicata BC, rectum latus AE; circa applicatam BC volvatur spatium parabolicum BAC. Quteritur dimensio superficiei curvæ illius solidi.
Exponatur hyperbole MNH, cujus axis HI, transversum latus HF aequale quartt parti lateris recti paraboles, sive rectte AE; rectum vero illius hyperboles latus sit tequale transverso, ut nempe rectangulum quodvis FIH sit sequale quadrato applicate IM. Fiat recta HI 0equalis recte AC axi paraboles, et ducatur applicata IM. A rectangulo sub CA
in curvam parabolicam BA auferatur spatium hyperbolicum IMH; reliquum quadretur.
Diagonia illius quadrati erit radius circuli < wequalis > superficiei curvæ solidi quod fit a rotatione spatii ABC circa applicatamn BC.
Sit serniparabole quevis AC (fig. 114), cujus vertex A, axis AB; ab ea curva formentur alie curva infinitme, ut AF, AE, AD, etc.
Ita autem formantur: in curva AF, applicata BF est wqualis curvm parabolice CA et, sumpto similiter quovis puncto N, a quo ducatur applicata NP, applicata NP est etiam equalis curvwe parabolice AO. In curva EA, applicata EB equatur curvæ secundi gradus FA, et illius applicata QN æquatur portioni < ejusdem curvse> secundi gradus PA. Item in curva AD, applicata BD mequatur curvce tertii gradfus EA, appli cata vero NR portioni ejusdem curvte tertii gradus QA: et sic in infinitum.
Aio omnes hujusmodi in infinitum curvas rationem habere datam ad parabolas primarias, hoc est simplices; enuntiari quippe potest generale theorema hoc pacto:
Continuetur parabole primaria AC in infinitum per puncta, verbi gratia, M, L, K, et illius axis similiter ad puncta quotlibet G, HI, I producatur; fiant rectse BG, GfH, HI singule sequales axi AB, et ducantur applicatte GM, HL, IK.
Curva parabolica AM est ad curvam secundi gradiis AF ut applicata GM ad applicatam BC.
Curva parabolica AL est ad curvam tertii gradtis AE ut recta HL ad BC rectam.
Curva parabolica AK est ad curvam quarti gradus AD ut applicata KI ad rectam BC.
Et sic in infinitum.
SI vero intelligantur AMG, AFB circa applicatas GM, BF rotari, superficies curva ex rotatione spatii AMG circa rectam GM erit ad superficiem ex rotatione spatii AFB circa rectam BF ut cubus rectve GM ad cuburn rectæ BC.
Similiter superficies curva ex rotatione spatii ALH circa HL erit ad superficiem curvam ex rotatione spatii AEB circa rectam BE ut cubus recte HL ad cubum rectae BC.
Et sic in infinitum.
Esto figura semicycloides BA (fig. 115, 116), a qua formetur alia curva DA eâ conditione ut applicatae BC, CD; FO, EO sint inter se semper in eadem ratione data. Demonstrarunt Geometrae [2] semicy cloidem BA esse duplam recte AC, quse est diameter circuli cycloidem producentis. Qusritur relatio curvarum AD ad alias lineas aut curvas aut rectas. Ita autem generaliter definimus: Si hæ novwe curvwe sint intra cycloidem et diametrum circuli generantis, ut contingit in figura quarta (fig. 115), omnes hse curvœ AD earumque portiones erunt wequales
curvis parabolicis; quod si nova curve sint exteriores cycloidi, ut in figura quinta (fig. I16), omnes hse curvæ AD earumque portiones datam habebunt rationem ad summami rectarum et circumferentiarumn circularium.
Enuntiari potest in figura quarta (fig. Ii5) generalis propositio hoc pacto: Fiat
et per punctum A tanquam verticem descrihatur parabole cujus rectum latus sit AM et axis AC; occurrat autem parabole recte BDC productie in puncto G, rectwe vero FEO in puncto H. Ratio curve AG parabolicse ad curvam AD erit data, eadem nempe potestate que est quadrati BC ad differentiam quadratorur BC, CD.
Eadem vero erit ratio portionumn A1 et AE.
Ratio vero superficierum curvarum quwe oriuntur ex rotatione spatii ACG circa applicatam CG et ex rotatione spatii ADC circa rectam DC eadem est quse curvarum AG et AD. Similiter in portionibus AOH, AEO circa rectas OH et OE rotatis.
In figura autem quinta (fig. 116), in qua curva AD est exterior cycloidi AB, fiat
AD < ad > summam curvæ circularis AG et rectae GC dabitur: erit nempe
et similiter summa linete circularis AH et rectte HO in eadem erit ratione ad curvam AE.
Sit in figura sexta (fig. 117) parabole AC, cujus vertex A, axis AB, applicata CB; a curva parabolica CA deriventur alie in infinitum curve CD, CE, CF, simili qua in figura tertia (fig. I 4) usi sumus methodo, nisi quod in hac terminum applicatæ servamus, in ilia vero terminum axis eumdem semper retinemus.
Ducatur nempe GHIOM (fig. 117) axi AB parallela: ca erit natura curvarum hujus speciei, ut recta BD, quse secat in D curvan CID secundi gradiis, sit æqualis curvæ parabolicæ AC, recta item GI sit equalis CH portioni parabolice; recta autem BE quse secat < in E > curvam tertii gradu s COE, sit æqualis curvæ DIC secundi graduis; et sic de cæteris in infinitum, earunque portionibus.
Aio omnes hujusmodi curvas, CD, EC, FC in infinitum, æquales esse curvis parabolicis primariis seu simplicibus, diversis tamen a parabolis quse Tequantur curvis juxta methodum tertite figuræ generatis. En itaque theorema generale :
Exponatur parabole RP, cujus axis RQ wqualis axi AB prioris paraboles, rectum vero latus RU sit duplum recti lateris AN: Aio parabolen RP ita descriptam wequalem esse curve CID.
Si vero, manente axe RQ æquali AB, rectum latus RU fiat triplum recti lateris AN, tunc curva parabolica RP erit æqualis curvse COE.
Si vero, manente semper axe RQ aequali axi AB, rectum latus RU fiat quadruplum recti lateris AN, tune curva parabolica RP erit æqualis curvse CMF.
Si autem circa rectas AB, BD, BE, BF rotentur spatia ACB, DCB, ECB, FCB in infinitum, dantur circuli sequales omnibus et singulis superficiebus curvis solidorum inde oriundorum, eadem omnino facilitate qua in conoide parabolico, ex parabola AC circa axem AB descripto, circulum curvæ ipsius superficiei equalem repr.esentamus. Ejus vero constructionem non adjungeremus, quum jam ab aliis [3] inventam audierimus (licet eorum scripta hac de re ad nos non pervenerint), nisi quod nostra hec constructio ad methodum generalem in omnibus conoidibus circa axes BD, BE, BF novarum istarum curvarum in infinitum producendis facillime producitur. In figura sexta (fig. 117) circa rectam BD rotetur curva CD, superficies curva inde oriunda hoc pacto invenitur
Fiat, ex superiore methodo, curva parabolica RP œqualis curv.e CID; circa rectam RQ rotetur parabole RP. Superficies conoidis parabolici RPQ ad superficiem conoidis DICB erit ut applicata PQ ad applicatam CB.
Si PR parabole juxta prsecedentem methodum fiat œqualis curvet COE, conoides parabolicum RPQ dabit superficiem curvam quse ad superficiem curvam conoidis EOCB erit ut applicata PQ ad applicatam CB.
Et sic in infinitum.
Sit in figura septima (fig. 118) parabole FBAD, cujus axis EA, applicata FE. Queritur dimensio superficiei curvæ solidi quod fit a spatio ABFE circa axem AE rotato.
Fiat AC œqualis quartæ parti recti lateris et applicetur CB; fiat EH æqualis AC et applicetur GH; quadretur CBGH (hoc autem est facile ex Arclimede).
Diagonia quadrati spatio CBGH æqualis est radius circuli œqualis superficiei curvce conoidis FAD circa axem AE.
Videat subtilis ille Geometra[4], qui nuper æqualitatem helicis et paraboles demonstravit, an potuerit universalius concipi theorema et helices infinite cum infinitis parabolis eleganter comparari, sequentis propositionis beneficio generaliter, si libuerit, enuntianda et exemplificandae.
Proponatur (fig. 119) helix cujuscumque in infinitum speciei in figura 38 libelli Dettonvillani[5], in qua potestas qusevis radii AB ad
potestatem similem rectae AC sit in ratione potestatis cujuslibet circumferentiæ totius BE8B ad potestatem similem portionis periphericæ E8B.
Exponatur separatim parabole cujus semibasis sive ultima applicatarum RP æquetur radio AB, axis vero AR portioni circumferentie totius BE8B, cujus numerator æquetur exponenti potestatis diametri AB, denominator vero sequetur aggregato exponentium potestatum diametri AB et circumferentiaw BE8B; denique potestates applicatarum in parabola, quarumn exponens equatur aggregato exponentium potestatumr diametri AB et circumferentite BE8B, sint inter se ut potestates portionum axis, quarum exponens est sequalis exponenti circumferenti; BE8B.
Aio helicem ita effictam parabola ita constructe fore semper et in quocumque casu aequalem.
Exempli gratia, proponatur primurn helix Archimedea et parabole simplex et sit
ita circumferentia tota BE8B ad ejusdem portionern E8B.
Construatur separatim parabole AQP, cujus ultima applicatarum sive basis RP sit equalis radio AB; axis autem AR sit æqualis portioni circumferentie BE8B, cujus numerator sit œqualis exponenti potestatis diametri AB, qui in hoc casu est I; denominator verb xequetur summœ exponentium potestatum diametri et circumferentie, hoc est binario: namn exponens potestatis periphericæ in hoc casu est etiam:i. Sit itaque AR axis sequalis dimidio circumferentiwe helicis constitutivæ; sit autem in parabola ut potestas applicate RP, cujus exponens sequatur summœ exponentium diametri et circumferentie, hoc est, in hoc casu, numero 2, ad potestatem similem applicatse 6Q, ita potestas rectæ AR, cujus exponens æquatur exponenti circumferentiæ BE8B, sive i in hoc casu, ad similem potestatem recte A6, hoc est sit
Curva parabolica PQA erit equalis helici BCDA.
Esto jam
exponens potestatis diametri AB in hoc casu est 2, circumferentiae vero, 1. Parabole ita construetur juxta prxedictum canonem :
Applicata RP equabitur radio AB, axis AR œquabitur bessi vel duobus trientibus circumferentiæ BE8B et erit
Esto deinde
Denique sit in helice
In parabola huic helici correlata et equali, applicata RP erit sequalis, ut semper, radio AB, recta vero RA erit equalis duabus quintis partibus circumferentie BE8B, et erit in parabola
Nec dissimilis in helicibus et parabolis cujuslibet speciei invicem comparandis in infinitum erit methodus. Helicis autem, sive deminute sive auctt, portiones cum portionibus paraboles correlatte nullo negotio comparabuntur. Unde sequitur dari intra circulum infinitas numero helices specie et quantitate diversas; imno dantur infinitœ ipsa circumferentia majores: quod inter miracula geometrica potest numerari. Nulla tamen datur quæ non sit minor aggregato circumferentia et radii, et nulla etiam qune non sit radio major [6].
- ↑ Ce morceau figure comme Pars prior de l' Appendix secunda (p. 391 a 395) dans l'Ouvrage: Veterumn Geometria promota in septem dce Cycloide libris, et in du1abus adjectis Appendicibus. - Autore Antonio Lalovera Societatis Jesu. - Tolosae, apud Arnaldum Colomerium, Regis et Academicae Tolosanae Typographum. M.DC.LX. Cum privilegio.
L'attribution à Fermat est justifiée par le préambule ci-après de l' Appendix secunda (p. 390-39I):
« Quod olim fecit Conon ille apud Archimedem laudatissimus, cum aliquot reconditæ tune Geometrise theorematum a se primum repertorum nudam propositionem ad Amicos privatim misit demonstratione penes se pressa; fortasse quia (quod sæpe evenit) illam ementis arcano in adversaria nondum transtulerat: hoc ipsum alter seculi nostri Conon D. de Format cuim swepe alias, turn nuperrime de argumento summe arduo præstitit. Postremas ego istas propositiones, quoniam mirifice illustrant ea que de quadraticibus ungularibus in quinto, et de spiralibus lineis in sexto libro scripsi, huic operi attexere (quod singulari ejus modestiæ inopinatum profecto accidet) non dubito: fieri enim nequit quin iis inspectis, quilibet alius meis ausis faveat et de publica hac ad Geometrica inventa acces sione non summopere gaudeat. Ista si pro meis evulgare decrevissem, Vir quidem modestissimus, qui non sibi sod Geometriæ famam querit, æquissimo rem tulisset animo id tamen alienissimum a me semper fuit; nee existimo Geometræ gravius quicquam objici posse, quam quod alieui exprobari aliquando audivi, totus non es tuus, totus es alienus; et iac ipsa ratione qua Geometra es,
Calvus Cum fueris, eris comatus. Hunc autem jamdiu esse morem Viro Clariss. ut sua per Amicorum manus Geometrica tacite spargat, luculenter testatur R. P. Mersenn. prop. 47. Hydr., pag. I93: taceo, inquit, varios illos.,&E 'cxP ev. de maxinisv et miinzim/is, de tan gentibus,c de locis plani.s, solidis ct ad splwcrarm, quos Clariss. SSenator Tolosa)nul. D. Ferzmatii.v hluc acd nos misit. Plura alia ejis inventa commemorat in prœfat. ad Mechanica n. 4, in Ballisticis pag. 57, in Analysi pag. 385. Hinc factum est ut in ore summorum etiam in Italia Geometrarum Torricellii et Cavalerii semper fuerit, quod testatur doctissimus Bullialdus in præfatione opusculi ce Porismattibuts <rref>Yoir plus haut (p. 78 ) la ote 2 de( la page 7:.</rref>. Caterulm non res tantunm, sed verba etiam ipsa sunt integerrimi Senatoris; quibus omnibus de meo adjicio in posteriore parte innumeras curvilinearum figurarum, in quibus est Nicomedea conchoides, quadraturas: quæ omnia si vera esse comprobabuntur. ex tola ista appendice confirmabitur illud, quod quidam dixit: hIac tempestale in Geometricis in/ventulm et superatzin fcliciter e.sse BonIce Spei proinontorium illul, u/cle expedita existat lnacigatio cad inacces.as, alnt' tetrcaglO isnorln prtesertim regiones. » - ↑ Fermat et Roberval sur l'énonce de Wren (Histoire de la Roulette dans les OEuvres de Pascal, t. V, p. 172-173). La démonstration de Fermat est perdue; Lalouvère (p. 183) en dit: « Hujus rei demonstrationem more antiquorum à Geometra celeberrimi nominis Tolosano subtilissimè elaboratam legi. »
- ↑ Roberval (d'après Mersenne, Cogitata physico-mathematica, 1644, p. 99); Huygens, dans une Lettre à Carcavi du 16 janvier 1659 (comparer OEuvres de Pascal, édition de 1779, t. V, p. 403 et 455; Lettre de A. Dettonville & Monsieur Hugguens de Zulichem, en luy envoyant la dimension des Lignes de toutes sortes de Roulettes, lesquelles il montre estre egales à des Lignes Eliptiques. A Paris, M.DC.LIX).
- ↑ Lettre de A. Dettonville à Monsieur A. D. D. S., en lui en envoyant la démonstration à la manière des anciens de l'égalité des lignes Spirale et Parabolique. A Paris, M. DC. LVIII. OEuvres de Pascal, t. V, pages 426 a 452.
- ↑ La figure que nous reproduisons d'après Lalouvère ne présente pas toutes les complications de celle de Pascal. Fermat cite d'ailleurs le Volume: Lettres de A. Dettonville contenant quelques-unes de ses Inventions de Géométrie, - à Paris, chez Guillaume Desprez, rue Saint-Jacques, à l'Image Saint-Prosper, M.DC.LIX, - Volume qui reunit, sous neuf paginations successives, mais avec des planches de figures formant une seule série, les différents écrits publiés sous le nom de Dettonville.
- ↑ Après ce fragment, le texte de Lalouvère continue par un Scholium commençant par ces mots: « Hactenus Viri Clarissimi propositiones non minus arduae quam novae » et finissant par ceux-ci: « nisi nefas putaremus quicquam hocce in loco demere vel addere tam praeclaris Viri doctissimi inventis ». On lit encore dans le même Ouvrage (Livre II): Page 21 : « Cyclocylincricam figurcam primi nomilis vocamus earn que intelligitur in superficie cylindri recti describi eo mode quo circulus in piano, nempe si, pede circini extremo manente in date superficiei cylindrica puncto, ipse circinus circumducatur notans in superficie cylindrica lineam donee ad idem punctum circuitu peracto redeat, quoties iste reditus fuerit possibilis. Circini autem crura si deducta fuerint intervallo diametri baseos cylindri, vocetur cyclocylindcrica primaria et antonomastice cyclocylidclrica; si alio quovis intervallo, dicatur cyclocylindrica secundaria. Quod si figatur extra illam superficiem, nominis secunldi appellabitur.... » Page 29: « De hac figura quadranda ut cogitarem fecit Clarissimus D. de Fermat; postea enim quam primum hujus operis librum vulgavi (a), nescio qua se dante occasione significavit mihi invenisse se solidi, motu cujuslibet cyclocylindrice primi nominis circa basim geniti, proportionem cum cylindro circa eandem basim genito motu rectangum cujus unum latus sit eadem basis, alterum æquet axem cyclocylindricæ. Ubi primurn solus fui, ccepi mecum cogitare quid istud rei foret, reperique tandem post aliquot dies non tantium proportionem illam, quam mihi vir optimus non expresserat, sed etiam quadraturam cyclocylindrice primariæ primi nominis. Ioc, cum iterum illum alloquerer, ipsi denuntiavi. deque meo invento pro sua qua me licet immerentem complectitur benevolentia, et pro studio illo quo artium omnium incrementa mirifice fovet, mihi ample gratulatus est. Aliquot post diebus literis ad D. Carcavi datis inserui quantum hac in re deberem integerrimo illi Senatori, quanti facerem subtilissimam quam mihi tune communicarat demonstrationem circa proportionem cylindri et solidi... » Et toujours sur le même sujet, page 34: « Doctissimus D. de Fermat, methodo subtilitatis prorsus mirabilis, istam proportionem in quacunque primi nominis cyclocylindricA mihi demonstravit: quam quidem methodum suis in operibus, quæ tota Europa enixs expetuntur, edet, uti spes est, Amicorum omnium precibus tandem victus. » (a) C'est-à-dire après le 23 juillet Ti58, mais avant le. septembre 1658, date de la réponse faite par Pascal à la lettre Lalouvère à Carcavi. Il faut entendre au reste, pour la question imaginée par Fermat, que la surface du cylindre est développée sur un plan.