Œuvres de Fermat/I/Maxima et Minima

Pierre de Fermat

Maxima et minima.

Œuvres de Fermat, Texte établi par Paul Tannery, Gauthier-Villars, 1891, 1 (p. 133-180).

I.
METHODUS
AD
DISQUIRENDAM MAXIMAM ET MINIMAM^[1]

Omnis de inventione maximæ et minimæ doctrina duabus positionibus in notis innititur et hac unica præceptione:

Statuatur quilibet quæstionis terminus esse A (sive planum, sive solidum aut longitudo, prout proposito satisfieri par est) et, inventa maxima aut minima in terminis sub A, gradu < aut gradibus >, ut libet, involutis, ponatur rursus idem qui prius terminus esse A + E, iterumque inveniatur maxima aut minima in terminis sub A et E gradibus, ut libet, cœfficientibus. Adæquentur, ut loquitur Diophantus^[2], duo homogenea maximæ aut minimæ aqualia et, demptis communibus (quo peracto, homogenea omnia ex parte alterutra ab E vel ipsius gradibus afficiuntur), applicentur omnia ad E vel ad elatiorem ipsius gradum, donec aliquod ex homogeneis, ex parte utravis, affectione sub E omnino liberetur. Elidantur deinde utrimque homogenea sub E aut < sub > ipsius gradibus quomodolibet involuta, et reliqua equentur, aut, si ex una parte nihil superest, æquentur sane, quod eodem recidit, negata affirmatis. Resolutio ultimæ istius equalitatis dabit valorem A, quai cognita, maxima aut minima ex repetitis prioris resolutionis vestigiis innotescet.

Exemplum subjicimus: Sit recta AC (fig. 91 ) ita dividenda in E ut rectangulum AEC sit maximum.

Fig. 91.

Recta AC dicatur B. Ponatur pars altera ipsius B esse A: ergo reliqua erit B - A, et rectangulum sub segmentis erit B in A - Aq., quod debet inveniri maximum. Ponatur rursus pars altera ipsius B esse A - E: ergo reliqua erit B - A - E, et rectanulum sub segmentis erit

B in A - Aq. + B in E - A in E bis - Eq.,

quod debet adœquari superiori rectangulo

Bin A - Aq.Demptis comrmunibus, B in E adæquabitur A in E bis + Eq.,et, omnibus per E divisis, B adaquabitur A bis + E.Elidatur E, B æquabitur A bis.Igitur B bifariam est dividenda ad solutionern propositi; nec potest generalior dari methodus.

DE TANGENTIBUS LINEARUM CURVARUM.

Ad superiorem methodum inventionem tangentium ad data puncta in lineis quibuscumque curvis reducimus. Sit data, verbi gratia, parabole BDN (fig. 92), cujus vertex D, diameter DC, et punctum in ea datum B, ad quod ducenda est recta BE tangens parabolen et in puncto E cum diametro concurrens.

Fig. 92.

Ergo, sumendo quodlibet punctum in recta BE, et ab eo ducendo ordinatam 01, a puncto autem B ordinatam BC, major erit proportio

CD ad DI quam quadrati BC ad quadratum 01,quia punctum 0 est extra parabolen; sed, propter similitudinem triangulorum, ut BC quadratum ad 01 quadratlur, ita CE quadratum ad IE quadratum:major igitur erit proportio CD ad DI quam quadrati CE ad quadratum IE.

Quum autem punctum B detur, datu applicata BC, r alica B ergo punctum C; datur etiam CD: sit igitur CD æqualis D date. Ponatur CE esse A; ponatur CI esse E.

Ergo

D ad D - E habehit majorem proportionem quam Aq. ad Aq. Eq. - A in E bis.

Et, ducendo inter se medias et extremas,

DinAq. - DinEq.-D inAinE bis majus erit quam DinAq.-Aq. in E.Adæquentur igitur juxta superiorem methodum: demptis itaque communibus, D in Eq. - D in A in E bis adæquabitur - Aq. in E, aut, quod idem est, D in Eq. -+- Aq. in E adtequabitur D in A in E bis.

Omnia dividantur per E: ergo

D in E -+ Aq. adequabitur D in A bis.

Elidatur D in E: ergo

Aq. tequabitur D in A bis,

ideoque A eqluabitur D bis. Ergo CE probavimus duplam ipsius CD, quod quidem ita se habet.

Nec unquam fallit methodus; imo ad plerasque quæstiones pulcherrimas potest extendi; ejus enim beneficio centra gravitatis^[3] in figuris lineis curvis et rectis comprehensis et in solidis invenimus, et multa alia, de quibus fortasse alias, si otium suppetat. De quadraturis spatiorum sub lineis curvis et rectis contentorum, imo et de proportionibus solidorum ab eis ortorum ad conos ejusdem basis et altitudinis, fuse jam cum Domino de Roberval egimus ^[4].

II.
CENTRUM GRAYITATIS PARABOLICI CONOIDIS,
EX EADES MIETHODO^[5].

Esto parabolicus conois CBAV (fig. 93), cujus axis IA, basis circulus circa diametrum CIV. Quseritur centrum gravitatis perpetua et con stanti, qua maximam et minimam et tangentes linearum curvarum investigavimus, methodo, ut novis exemplis et novo usu, eoque illustri, pateat falli eos qui fallere methodum existimant.

Ut posset parari analysis, axis IA dicatur B; ponatur centrum gravitatis esse 0, et rectam AO ignotam dici A; secetur axis IA quovis piano, ut BN, et ponatur IN esse E: ergo NA erit B - E.

Fig. 93.

Constat in hac figura et similibus (parabolis aut parabolicis) centra gravitaturn, in portionibus abscissis per parallelas basi, in eadem proportione dividere axes (quod, in parabole al Airchimede ^[6] demonstratum, porrigitur non dissimili ratiocinio ad parabolas omnes et parabolicos conoides, ut patet): ergo centrumi gravitatis portionis cujtus axis NA, haseos semidiameter BN, ita dividet AN in puncto, verbi gratia, E, ut ratio NA ad AE sit eademr rationi IA ad AO. iErit igitur, in notis, ut B ad A, ita B- E ad portionern axis AE, quæ idcirco æquabitur BinA -A in E B et ipsa 0E, que est intervallum inter duo centra gravitatis, equabitur A inE B Ponatur portionis reliquse CBRV centrum gravitatis esse ilI, quod necessario debet esse inter puncta N et 1, intra figuram, per petitionem 9 Archimedis De æquiponderantibus ^[7], quum figura CBRV sit in easdem partes cava. Sed

ut portio CBRV ad portionemn BAR, ita est EO ad OM,

quum 0 sit centrum gravitatis totius figuræ CAV, et puncta E et M sint centra gravitatis partium; portio autem CAV ad portionem BAR est, in nostro conoide Archimedeo ^[8], ut quadraturn IA ad quadratum NA, hoc est, in notis,

ut Bq. ad Bq. - Eq. - Bin Ebis:ergo, dividendo, portio CBRV est ad portionem BAR ut B in E bis -- Eq. ad Bq. + Eq. - B in E bisDemonstravimus autem ut portio CBRV ad portionern BAR, ita esse OE ad OM:erit igitur in notis ut B in E bis - Eq. ad Bq. + Eq. - B in E bis, ita OE sive A in E/B, ad OM,quæ proinde æquabitur ${\frac {Bq.inAinE-AinEc.-BinAinEq.bis}{Bq.inEbis-BinEq.}}$

Quum autem punctum M, ex demonstratis, sit inter puncta N et I, ergo recta OM erit minor recta OI; recta autem OI in notis est B - A : deducta est igitur quæstio ad methodum et adæquanda

$B-Acum{\frac {Bq.inAinE+AinEc.-BinAinEq.bis}{Bq.inEhis-BinEq.}}$et, omnibus ductis in denominatorem et abs E divisis, adæquabuntur Bc. his - Bq. in A his - Bq. in E -- B in A in Eet Bq. in A +4- A in Eq. - Bin in E bis.

Quandoquidem nihil est utrimque commune, elidantur homogenea omnia abs E affecta, et aquentur reliqua: fiet

Bc. bis - Bq. in A bis aqualis Bq. in A,ideoque A ter æquabitur B bis.Erit igitur IA ad AO ut 3 ad 2et AO ad 01 ut 2 ad i.Quod erat inveniendum^[9].

Non dissimili methodo in quibuslibet parabolis in infinitum et parabolicis conoidibus inveniuntur centra gravitatum. Quenadmodum autem, verbi gratia, in nostro conoide parabolico circa capplicatam axi converso indaganda sint centra gravitatis, non vacat in prPesens indicare: sufficit aperuisse me in hoc nostro conoide centrum gravitatis dividere axemn in portiones quæ servant proportionem 11 ad 5^[10].

III.
AD EAMDEM METHODUM.

Volo meai methodo secare lineam AC (fig. 94) datam ad punctum B, ita ut solidum contentumrn sub quadrato AB et linea BC sit maximum omnium solidorum eodem miodo descriptorurn secando lineam AC in quovis alio puncto.

Fig. 94.

Ponamus in notis algebraicis lineam AC vocari B, et lineam AB incognitam A; BC erit B- A: oportet igitur solidum Aq. inB - Ac. satisfacerc quæstioni.

Sumamus iterum, loco A, A -+ E: solidum, quod fiet ex quadrato A + E et ex B -- E - A, erit

B in Aq. +- B in Eq. - B in A in E bis -Ac. A in Eq. ter - Aq. in Eter — Ec.

Id comparo primo solido

Aq. in B -- Ac.,

tanquam essent,equalia, licet revera vequalia non sint, et hujusmodi comparationem vocavi adæqualitatem, ut loquitur Diophantus (sic enim interpretari possum græcam vocem παρισότης^[11]qua ille utitur). Deinde e duobus solidis demo quod iis est commune, scilicet

B in Aq. - Ac.;quo peracto, nihil ex una parte superest, et superest ex alia B in Eq. - B in A in E bis - A in Eq. ter - Aq. in E ter - Ec.

Comparanda sunt ergo homogenea notata signo -+ cum iis qua, notan tur signo -, et iterare comparationem [adæqualitatem] ^[12] oportet inter

B in Eq. 4- B in A in E his ex una parte, et A in Eq. tel 4- Aq. in E ter - Ec. ex altera.Totum dividamus per E comparatio [adæqualitas] erit inter B in E -- B inA bis et A in E ter -+ Aq. ler + Eq.

Hac divisione peracta, si omnia homogenea dividi possunt per E, iteranda erit divisio per E, donec reperiatur aliquod ex homogeneis quod hujusmodi divisionem non admittat, id est, ut Vietæis ^[13] verbis utar, quod non afficiatur ab E. Sed quia, in exemplo proposito, comperimus divisionem iterari non posse, hic standur est.

Deinde utrimque delco homogenea quse afficiuntur al E: superest

ex una parte B inA his, et ex alia Aq. terinter quæ non amplius facere oportet, ut antea, comparationes fictas et adeequalitates, sed veram requationem. Dividamus totum per A:

ergo

B bis erit;equalis A ter,et B erit al A ut 3 ad 2.

Redeamus ad nostram quæstionem et dividamus AC in puncto B ita ut

AC sit ad AB ut 3 ad 2

dico solidum quadrati AB in BC esse maximum omnium quæ describi possunt in eadeo-n linea AC, in qualibet alia sectione. Ut pateat hujus methodi certitudo, desumam exemplum e libro Apollonii De determinata sectione, qui, ut refert Pappus initio septimi libri, difficiles determinationes habebat ^[14]; et eam quwe sequitur difficillimam esse existimo, quam ut inventam supponit Pappus septimo libro, nec enim illam veramn esse demonstrat, sed, ut veram supponens, alias inde consequentias deducit. Hoc loco Pappus vocat minimam proportionem μοναχὰν καὶ ἐλάχιστον, minimam et singularem, ideo scilicet quia, si proponatur qumestio circa magnitudines datas, duobus semper locis satisfit quœstioni, sed, in minimo aut maximo termino, unicus est qui satisfaciat locus: idcirco Pappus vocat minimam et singularenz, id est unicam, proportionem omnium quæ proponi possunt minimam. Commandinus hoc loco dubitat quid per μοναχός intelligat Pappus, et veritatem quam modo explicui ignoravit ^[15]. Sed ecce propositionem:

Sit recta data OMID (fig. 95), et in ea quatuor puncta 0, M, I, D data. Dividenda est portio MI in puncto N ita ut rectanguli OND sit ad rectangulum INI proportio minor quam proportio ccjiuslibet rectanguli paris OND ad quodvis aliud par MNI.

Fig. 95.

Supponamus in notis lineam OM datam vocari B, lineam DM datam Z, et MI datam G; fingamus nunc MN, quod quærimus, vocari A: ergo rectangulum OND in notis erit

B in Z- B in A + Zin A - Aq.,

et rectangulum MNI

G inA -Aq.Oportet igitur proportionem B in Z- B in A - Z in A - A. ad G in A -- q.esse minimam omnium quwe fieri possunt qualibet alia divisione lineæ MI.

Sumamus iterum, loco A, A -- E, et habebimus proportionem

Bin Z - B in A - B in E +- Z in in E - Aq. - Eq. - A in E bis ad G in A - G in E - Aq.- Eq.-A in E his,quam primwe comparare per adequalitatem oportebit, id est: multiplicare primum terminum per quartum ex una parte, et secundum per tertium ex alia, et simul htec duo producta comparare.

Productum

B in Z -B in A + Zin A - Aq., qui prior est terminus,per G in A + G inE - Aq. - Eq. - A in E bis, qui est ultimus terminus,facit BinZin GinA - GinBinAq. + G in ZinAq. - GinAc. -+BinZin G inE-BinAinGinE-+ZinA in GinE -Aq. in Gin E - B in ZinAq. -- B in Ac. - ZinAc. + Aqq. - BinZin Eq. -BinAinEq.- ZinAin Eq. + Aq.in Eq. - BinZinA inEbis BinAq. inEbis-ZinAq.inEbis + Ac. in Ebis.

Productum autem

G in A - Aq., secundi termini,per BinZ- BinA-BinE — ZinA + ~ZinE-Aq. -Eq.- A inEbis, tertium terminum, facit B in Zin Gin A - GinBin Aq.- Gin G Bin A in E -+ Gin Z in Aq. + G in Z in A in E - G in Ac. - G in A in Eq. - G in Aq. in E is - B iin ZiAq. + Bin Ac. +- Bin Aq. in E- Zin Ac. - Z in Aq. in E -+ Aqq. + Aq. in Eq. - Ac. in E bis.

Comparo hæc duo producta per adwequalitatem; demamus quod ipsis commune est, et residum dividamus per: supererit,

ex una parte, B inZin G- Aq.in G - Bin Zin E — B in A in E -Z in A inE -B in Z in A bis - Zin Aq. bis -- B in Aq. bis,et ex alia, - G in A in E - Gin Aq. bis - B in Aq. - Z in Aq.

Deleamus omnia homogenea inter quse iterum reperitur E: supererit

B in Zin G - Aq. in G - B in Zin A bis - Zin Aq. bis - B in Aq. bis æquale - G in Alq. his + B in Aq. - Zin Aq.,et, transponendo, - B in Aq.+ Zin Aq. - Gin Aq. - B in Zin A bis erit equale B in Z in G.

Istius equationis resolutione reperiemus valorem lineæ A, id est valorem MN, et consequenter punctum N, et inveniemus veritatem propositionis Pappi ^[16], qui docet, ad reperiendum punctum N, oportere facere

ut rectangulum 0MD ad rectangulum OID, ita quadraturn MN ad quadratum NI;

æquationis enim resolutio nos ad eamdem constructionem deducit.

Ut tandem tangentibus applicetur lhec methodus, sic procedere possun: Sit, verbi gratia, ellipsis ZDN (fig. 96), cujus axis sit ZN et cen trum 1. Sumamus punctum, ut D, in ejus circumferentia, a quo ducamus lineam DM quse tangat ellipsin; ducamus prteterea applicatam DO et supponamus < in > notis algebraicis OZ datam vocari B, et ON datam vocari G; fingamnus OM, quam quetrimus incognitam, vocari A

Fig. 96.

(intelligimnus autem per OM portionem axis contentam inter puncturm 0 et concursum tangentis).

Quoniam DM tangit ellipsin, si ducamus lineam IEV, parallelam DO, per punctum V sumptum ad libitum inter O et N, certum est linea IEV secari tangentem DM et ellipsin quoque, ut in punctis E et I; et, quia linea DM tangit ellipsin, omnia puncta prater D erunt extra ellipsin ergo linea IV erit major linea EV. Erit igitur major proportio

quadrati DO ad quadrlatum EV quam quadrati DO ad quadr'atum IV;sed ut quadratum DO ad quadratum EV,

ita, proprietate ellipsis,

rectangulum ZON est ad rectangulum ZVN,et ut quadratum DO ac quadraturn IV, ita quadratum OM ad quaclratum VMmajor est igitur proportio rectanguli ZON ac rectangulum ZVN quam quadrati OM ad quadratum VM.

Fingamus < OV >, sumptam ad libitum, æqualen E:

rectanguluin ZON erit B in G; rectangulum ZVN erit B in G - B in E - G in E - Eq.; quadratuml OM eril Aq.; quadratum VM erit Aq. + Eq. - A in E bis.

Erit igitur major proportio

BinG ad Bin G - Bin E+GinE-Eq. quam Aq. ad Aq. + Eq.- A in Ebis,

et consequenter, si multiplicetur prior terminus per ultimum et secundus per tertium,

B in G in Aq. + B in G in Eq. - B in G in A in E his,

productum scilicet prioris termini per ultimum, erit majus

B in G in Aq. - B in E in Aq. -4- G in E in Aq. - Aq. in Eq.

Oportet igitur, juxta meam methodum, comparare hac duo producta per adsequalitatem; demamus quod iis commune est et dividamus residuum per E: supererit,

ex una parte, Bin GinE - Bin Gin A bis, et, ex alia, -B in Aq. + G in Aq. -- Aq. in E.

Deleamus homogenea quœ aliquid habent linese E: supererit,

ex una parte, B in Gin A bis, et, ex alia, - B in Aq. -- G in Aq.

Quos duos terminos juxta methodumn equare oportet; et, transponendo terminos, ut par est, inveniemus

B inA - Gin A æquale B in G bis.

Vides hanc resolutionem eamdem esse cum Apolloniana^[17]: nam, mea constructione, ad reperiendam tangentem, oportet facere

ut B- G ad G, ita B bis ad A,

id est

ut ZO - ON ad ON, ita ZO his ad OM;

sed, Apolloniana, oportet facere

ut ZO ad ON, ita ZM ad MN:

duæ autem illæ constructiones, ut patet, in idem recidunt.

Plura possem alia exempla addere, tun primi, tur secundi casus mea methodi, sed hzec sufficiunt et earn esse generalem ac nunquam fallere satis probant. Demonstrationem regulæ non adjicio nec plerosque alios usus qui illius perfectionem confirmare possent, nec inventionem centrorum gravitatis, asymptoton, quorum exemplum misi doctissimo Domino de Roberval^[18].

IV.

METHODUS DE MAXIMA ET MINIMA^[19].

Dum syncriseos et anastrophes Vietææ^[20] methodum expenderem, earumque usum in deprehendenda aequationum correlatarum constitutione accuratius explorarem, subiit animum nova ad inventionem maxima et minimæ exinde derivanda methodus, cujus ope dubia quælibet ad διορισμόν pertinentia, quæ veteri et nove molestiam exhibuere Geometriæ, facillime profligantur.

Maximæ quippe et minimae sunt unicæ et singulares, quod et Pappus^[21] monuit et jam veteres norunt, licet Commandinus quid per μοναχός intelligeret Pappus, ignorare se non diffitetur. Inde sequitur, ab utraqæ puncti determinationis constitutivi parte, posse sumi æquationem unam ancipitem et, ex duabus utrimque sumptis, effici duas æquationes ancipites correlatas æquales et similes.

Proponatur in exemplum recta B ita secta ut rectangulum sub ipsius segmentis sit maximum^[22]. Punctum proposito satisfaciens rectam datam bifariam secat, ut patet, et maximum rectangulum nequatur qualranti B quadrati; nec ex alia quavis rectse illius sectione orietur reetangulum equale quadranti B quadrati.

At, si recta eadem B proponatur secanda eâ conditione ut rectangulum sub ejus segmentis sit æquale Z plano (quod supponendum minus quadrante B quadrati), tunc duo puncta proposito satisfacien t, quæ quidem a puncto maximi rectanguli intercipiuntur.

Sit enim alicujus recte B segmentum A, fiet

B in A - A quad. æquale Z plano,

quat æquatio est anceps et rectam A de duobus lateribus explicari posse indicat. Sit igitur sequatio correlata

B in E - E quad. æquale Z plano ;ex methodo Vietsea comparentur he due tequationes: B in A - B in E æquabitur A quad. - E quad.,et, omnibus per A - E divisis, fiet B æqualis A + E,ipsæque A et E erunt inæquales.

Si sumatur aliud planum, loco Z plani, quod sit majus quam Z planum, sed minus quadrante B quadrati, tune recte A et E minus inter se different quam superiores, quum puncta divisionis magis accedent ad punctum rectanguli maximi constitutivum, semperque, auctis divisionum rectangulis, ipsarum A et E. differentia minuetur, donec per ultimam maximi rectanguli divisionem evanescat, quo castu μοναχή vel unica continget solutio, quum dua æquales < fient> quantitates, hoc est, A æquabitur E.

Quum igitur, in duabus superioribus squationibus correlatis, per methodum Vietwaam, B equabitur A +- E, si E sequetur ipsi A (quod contingere semper in puncto maximæ vel minimre constitutivo apparet), ergo, in casu proposito,

B æquabitur A bis:

hoc est, si recta B bifariam secetur, rectangulum sub ipsius segmentis erit maximum.

Esto aliud exemplum: Recta B ita secazada est, ut solildrm sulb )/t(/lrato unius ex segmentis in alterum sit maximum ^[23]. Ponatur unum segmentum esse A; ergo

B in A quad. - A cub. erit maxinmum.AEquatio correlata æqualis et similis est B in E quad. - E cub.Comparentur juxta methodurn Viete: ergo B in A quad. -- B in E quad. equabitur A cub. - E cub.,et, omnibus per A - E divisis, B in A + B in E; æquabitur A quad. + A in E -+- E quad.,

quæ est constitutio æquationum correlatarum.

Ut queratur maxima, fiat E equalis ipsi A: ergo

B in A bis æquabitur A quad. ter,hoc est, B bis,equabitur A ter.Constat propositum.

Quia tamen operosa nimis et plerumque intricata est divisionum illa per binomia practice, conveniens visum est latera æquationum correlatarum inter se per ipsorum differentiam comparari ut, ea ratione, unica ad differentiam illam applicatione totum opus absolvatur.

Esto

Bq. in A - Ac. oequandumn maximo solido. Correlata, juxta superioris præcepta methodi, æquatio debuit sumi Bq. inE - Ec.Sed, quoniam E (perinde atque A) est incerta quantitas, nihil vetat quominus vocetur A + E: erit igitur Bq. in A + Bq. in E - Ac. - Ec. - Aq. in E ter - Eq. in A ter,ex una parte; ex altera Bq. in A - Ac.

Demptis æqualibus, patet tequationem integram in homogenea ab E adfecta iri devolutam, quia in utraque Tequatione reperitur A nempe

Bq. in E aequabitur Ec. - Aq, in E ter + Eq. in A ter,et, omnibus ipsi E applicatis, Bq. aequabitur Eq. + Aq. ter + A in E ter,quæ est constitutio duarum hujusmodi æquationun correlatarum.

Ad inveniendam maximam, latera duarum æquationum inter se debent aequari, ut satisfiat methodi praedicte praeceptis, ex qua posterior hæc et modum et rationem ipsam operandi desumpsit.

AEquanda igitur sunt inter se A et A + E: ergo E dabit nihilum. Quum igitur Bq., ex jam inventa æquationum correlatarum constitutione, æquetur

Eq. + Aq. ter - A in E ter,

ergo elidi debent homogenea omnia ab E adfecta, utpote nihilum repræsentantia: et manebit

Bq. æquale Aq. ter,

quæ æquatio dabit maximum solidum qusesitum. Ut autem plenius innotescat utriusque hujus nostræ methodi usum esse generalem, dispiciamus novas æquationum correlatarum species de quibus < tacet > Vieta, ex libro Apollonii De determinata sectione (propositione apud Pappum 6r Libri VII), cujus determinationes ipse Pappus innuit et profitetur difficiles ^[24].

Sit recta BDEF (fig. 97), in qud data puncta B, D, E, F. Intrapuncta D et E sumendum punctum N, ut rectangulum BNF ad rectangulumn DNE habeat minimam rationem.

Fig. 97.

Recta DE vocetur B, DF vocetur Z, BD vocetur D; ponatur DN esse A: ergo

ratio DinZ-Din A +Zin A-Aq. ad Bin A-Aq. est minima.Ratio correlata similis et æqualis esto D in Z-D in E+Z in E-Eq. ad B in E-Eq.,

juxta priorem methodum. Factum itaque sub mediis equabitur facto sub extremis: hoc est, ex una parte,

D in Z in B in E - Din Zin Eq. - Din Ain B inE + D in A in Eq. + Z in A inB in E- Zin A inEq. -Aq. in B in E Aq. inEq.,

ex altera parte,

D in Z in B in A - D in Z in Aq. -D in E in B in A + D in E in Aq. + Z in E in B in A - Z in E in Aq. -Eq. in B in A Eq. in Aq.

Demptis communibus et facta congrua metathesi,

D in Z in B in A - D in Z in B in E + D in E in Aq. - D in A in Eq. -Z in E in Aq. + Z in A in Eq. + Aq. in B in E - Eq. in B in A æquabitur D in Z in Aq. - D in Z in Eq.

Singulis tequationis partibus per A - E divisis (quod quidern, bina ex honogeneis correlata sigillatim inter se conferendo, facillimum: ut puta

D in Z i B in A -D in Zin B in E abs A - E divisum dat D in Z in B;similiter D in E in Aq. -- D in A in Eq. abs A - E divisum dat D in A in E;et sic de caeteris: homogenea enim inter se correlata satis facile disponuntur ad hujusmodi divisioner admittendam), fiet igitur, post divisionem, D in Z in B + D in A in E - Z in A in. -E- B in A in E aequale D in Z in A + D in Z in E,quae tandem aequalitas aequationum correlatarum constitutionem exhibebit.

At, si es hujusmodi constitutione qutratur minima, debet E, juxta methodum, aequari A: igitur

D in Z in B + D in Aq. - Z in Aq. + B in Aq. aequabitur D in Z in A bis;hujus aequationis resolutio dabit valorem A, ex quo minima ratio quaesita statirn patebit.

Nec morabitur Analystam ultime istius tequalitatis ambiguitas: prodet quippe se, vel invito, latus utile. Imo et in aequationibus ambiguis quæ plura duobus habent latera, non deerit solitum ab utraque hac nostra methodo, sagaci tantisper Analystse, præsidium.

Ex supradictas quaestionis processu, patet priorem illam methodumn intricatam nimis ut plurimum evadere, propter crebras illas divisionurn per binomia iterationes. Recurrendum ergo ad posteriorem, que tamen, licet ex priori, ut jam dictum est, deducta, miram certe facilitatem et compendia innumera peritioribus abunde suppeditabit Analystis, imo et ad inventionem tangentium, centrorum gravitatis, asymptotôn, aliorumque id genus, longe expeditior alterâ illa evadet et elegantior. Confidenter itaque sicut olim, ita et nunc pronuntiamus semper et legitimam, non autem fortuitam (ut quibusdam visum) ^[25], maximae et minimae disquisitionem hoc unico et generali contineri epitagmate:

Statuatur etc. (voir page 133, ligne 7, à page 134, ligne 6; comparer page 133, note 1)... innotescet.

Si qui adhuc supersunt qui methodum hanc nostram debitam sorti pronuntiant,

Hos cupiam similes tentando excudere sortes^[26].

Qui hanc methodum non probaverit, ei proponitur:

Datis tribus punctis, quartum reperire, a quo si ducantur tres rectae ad data puncta, summa trium harum rectarum sit minima quantitas.

V.
AD METHODUM DE MAXIMA ET MINIMA APPENDIX^[27]

Quia plerumque in progressu quaestionum occurrunt asymmetriae, non dubitabit Analysta triplicatas aut ulterioris etiam, si libeat, gradius positiones usurpare: earum quippe beneficio multiplices et intricati ut plurimum vitabuntur ascensus. Hujusce artificii methodus ita procedit ut exempla infra scripta declarabunt.

Sit semicirculus cujus diameter AB (fig. 98) et in eam perpendicularis DC. Quaeritur maximum rectarum AC et CD aggregatum.

Diameter vocetur B; ponatur recta AC esse A: ergo

CD erit latus (B in A - A quad.).

Eo itaque deducitur qusestio ut

A + lat. (B in A - A quad.)sit maxima quantitas.

Quia, ex præceptis methodi, equationes adsequande nimium sunt

Fig. 98.

scansurse, ponatur maxima illa quantitas esse 0 Vietæam enim ignotarum quantitatum per vocales expressionem cur respuamus?

Ergo

A - lat. (B in A - A quad.) sequabitur 0,ideoque 0 - A æquabitur lateri(B in A - A quad.),

et, omnibus in quadratum ductis,

O quad. + A quad. - 0 in A bis aquabitur B in A - A quad.

Hoc peracto, ita instituenda est transpositio ut maximus sub 0 gradus unam aquationis partem solus occupet, ut ea nempe ratione possit de maxima determinari, quo tendit artificium. Per translationem hujus modi,

B in A - A quad. bis + 0 in A bis aequabitur 0 quad.

Quum igitur, ex hypothesi, 0 sit maxima quantitas, ergo 0 quadratum erit quadratum maximæ quantitatis, ideoque maximum: ergo

B in A - A quad. bis +- 0 in A bis (quæ omnia æquantur 0 quadrato)

sunt maxima quantitas; quæ æquatio, quum vacet asymmetria, perinde ex methodo resolvatur ac si 0 quantitas esset nota. Ergo

B in A - A quad. bis + O in A bisadæquabitur B in A + B in E - A quad. bis - E quad. bis - A in E quater - 0 in A bis + 0 in E bis.

Sublatis communibus, et reliquis ipsi E applicatis,

B + O bis adclquabitur E bis 4- A quater.Expungatur EB is ex methodo: ergo B + O bis æquabitur A quater,ideoque A quater - B tequabitur O bis,et A bis - dimid. B æquabitur 0.

Hac equalitate ex methodo stabilita, redeundum ad priorem, in qua ponebamus

A + lat.(B in A - A quad.) æquari O.

Quum igitur inventa sit

O æqualis A his - dimid. B,ergo A bis - dimid. B æquabitur A + lat. (B in A - A quad.),ideoque A - dimid. B wequabitur lat. (B in A - A quad.),omnibusque in quadratum ductis, A quad. - B quad. - B in A æquabitur B in A - A quad.,et tandem B in A -A quad. æquabitur B quad.1/8;

quæ ultima sequalitas dabit valorem A in quawsita determinatione.

Hoc artificio uti possumus ad inventionem coni maximi ambitus sphæræ inscribendi ^[28].

Sit sphæræ datœ diameter AD (fig'. 99). Conus quysitus habeat altitudinem AC, latus AB, semidiametrum baseos BC. Rectangulum AB in BC una cum BC quadrato continebit maximum spatium, ex Archimede ^[29].

Diameter vocetur B; recta AC, A: ergo

AB erit latus (B in A) et BC erit latus (B in A - quad.).Rectangulum AB in BC una cum BC quadrato erit latus (B quad. in A quad. - B in A cub.) + B in A - A quad.Hæc omniia æquantur maximo spatio: esto O plano. Ergo Opl.+-A quad.- BinA æquabitur lateri(B quad. inA quad.- Bin A cub.).

Omnia ducantur quadratice, etc.; tandem devenietur, ex superiori methodo, ad æquationem Oplani, cujus beneficio prima wequalitas jam exposita resolvetur.

Fig. 99.

Non deerit tamen, hoc in exemplo, solutio ex methodo absque triplicata æqualitate: eo enim potest deduci quysstio ut, data' recta AB in triangulo CBA, quTeratur maxima proportio rectanguli CBA una cum CB quadrato ad quadratumn AD, quo casu methodus vulgaris sufficit. Recta AB data vocetur B; ponatur CB esse A: ergo AC erit potentiI B quad.- A quad. Sed

ut AC quadratum ad AB quadratum, ita AB quadratum ad AD quadraturm;ergo B quad. quad.

AD quad. erit B- - -qa B quad. - A quad.

ad qus rectangulum B in A - A quadrato debet habere maximam proportionem: hoc enim quærimus. Omnia ducantur in

B quad. - A quad.;

ergo ratio

B quad.quad. ad Bcub. in A + B quad. in A quad.- B in Acub.- - quad. quad.

est minima. Sed B quad. quad. est quantitas data: rectse enim B data potestas est: ergo

B cub. in A + B quad. in A quad. - B in A cub. - A quad. quad.est maxima quantitas.

Ex methodo

B cub. + B quad. in A his wequabitur B in A quad. ter -- A cub. quater,quæ æquatio ad sequentem statim deprimitur A quad. quater - B in A aequale B quad.,ideoque patebit solutio quaestionis.

Nec pluribus in re perspicua immoramur: constat nempe, per triplicatas aut quadruplicatas, imo et ulterius etiam, si libeat, promotas hypostases, evanescere omnino asymmetrias et si quse alia remorantur Analystam impedimenta.

Elegantius tamen et fortasse magis yaosTexco; quaestiones de maxima et minima speciales tangentium beneficio resolvuntur, licet et ipsse tangentes ab universali methodo deriventur.

Hujus rei unicum, quod multorum instar erit, proponatur exemplum:

In semicirculo FBD (fig. 100) ductà perpendiculari BE, quaeritur maximum sub FE < in > EB rectangulum.

Si quæratur rectangulum FEB Sequale dato, ex nostra methodo, quærenda esset hyperbole sub angulo AFC ea conditione ut rectangula similia FEB essent æqualia dato, punctaque intersectionum hyperboles et semicirculi qusesitum adimplerent; sed, quoniam rectangulum FEB maximum qurerimus, quarenda hyperbole sub angulo AFC (asym ptotis AF, FC), quae semicirculum non jam secet, sed tangat, ut in B: puncta enim contactfis maximas et minimas determinant quantitates.

Sit factum. Quum igitur hyperbole in puncto B tangat semicirculum, ergo recta, in puncto B semicirculum tangens, tanget et hyperbolen.

Fig. 100.

Sit illa recta ABC. Quum in hyperbole per B transeunte ducta sit tangens cum asymptotis in punctis A et C concurrens, ergo, ex Apollonio ^[30], rectae AB, BC sunt aequales, ideoque aequales rectse FE, EC, et AF dupla BE sive AN. Est autem, propter circulum, BA equalis AF: ergo BA est dupla AN et, in triangulo simili, posito centro M, semidiameter MB dupla ME. Datur autem semidiameter: ergo et punctum E.

Et generalis ad inventionem maximin et minimæ geometrica est quaestionum ad tangentes abductio; nec ideo minoris facienda universalis methodus, quum ejus ope et maxima et minima et ipsae tangentes indigeant.

VI.
AD EAMDEM METHODUM^[31]

Doctrinam tangentium antecedit jamdudum tradita Methodus de inventione maximæ et minimae, cujus beneficio terminantur quæstiones omnes dioristicte, et famosa illa problemata, quT apud Pappum ^[32], in præfatione Libri VII, difficiles determinationes habere dicuntur, facillime determinantur.

Linete curvæ, in quibus tangentes inquirimus, proprietates suas specificas vel per lineas tantum rectas absolvunt, vel per curvas rectis aut alis curvis quomodo libet implicatas.

Priori casui jam satisfactum est prrecepto quod, quia concisum nimis, difficile sane, sed tamen < legitimum > ^[33] tandem repertum est.

Consideramus nempe in plano cujuslibet curvæ rectas duas positione datas, quarum altera diameter, si libeat, altera applicata nuncupetuir. Deinde, jam inventam tangentem supponentes ad datum in curva punctum, proprietatem specificam curvie, non in curva amplius, sed in invenienda tangente, per adequalitatem consideramus et, elisis (quae monet doctrina de maxima et minima) homogeneis, fit demum tequalitas quse punctum concursius tangentis cum diametro determinat, ideoque ipsam tangentem.

Exemplis, quse olim multiplicia dedimus, addatur, si placet tangens cissoidis cujus Diocles ^[34] traditur inventor.

Esto circulus duabus diametris AG, BI (fig. 101) normaliter sectus, et sit cissois IIG in qua, sumpto quolibet puncto, ut H, ducenda est a puncto H tangens ad cissoidem.

Sit factum, et ducta tangens HF secet rectam CG in F. Ponatur recta DF esse A et, sumpto quolibet puncto inter D et F, ut E, ponatur recta DE esse E. Quum igitur, ex proprietate specifica cissoidis, recta

MD sit ad DG ut DG ad DH,fiat jam in terminis analyticis per adæqualitatem ut NE ad EG, ita EG ad portionem recte ENquae intercipitur inter punctum E et tangentem et est EO.

Vocetur

AD data, Z; DG data, N; DH data, B; BF quesita, ut diximus, A; DE sumpta ad libitum, E:ergo

EG vocabitur	N - E;
EO vocabitur	${\frac {B{\mbox{ in }}A-B{\mbox{ in }}E}{A}}$
EN vocabitur	latus(Z in VN - Z in E -N in E - Eq.).

Quum igitur, ex praecepto, proprietas specifica debeat considerari,

Fig. 101.
non amplius in curva, sed in tangente, ideoque faciendum sit ut NE ad EG, ita EG ad EO, quae applicatur tangenti,ergo, in terminis analyticis, faciendum ut latus (Z in N- Z in E N in E-Eq.) ad N-E, ita N - E ad ${\frac {R{\mbox{ in }}A-R{\mbox{ in }}E}{A}}$,

MAXIMA ET MINIMA.:16 1

et, quadratis singulis terminis ad vitandam asymmetriam, fiet ut ZinN-ZinE+-NinE-Eq. ad Nq. +Eq. —NinEbis, itaYq. -Eq.- NinEbis ad Rq. in Aq. +- Rq. in Eq.- Rq. in A in E bis ita jAT~. q- ~E. -Nin bis ad - -Aq. Ducantur singula homogenea in A quadratum, et deinde quod fit sub extremis adæquetur, ex preceptis artis, ei quod fit a medio. Elisis deinde superfluis, ut monet methodus, tandem orietur æqualitas inter Zin A ter iNin A ex una parte, etZin Ybis exaltera. Construetur igitur tangens hoc pacto: Producatur semidiameter circuli dati CA ad punctum U, et fiat AU recta xequalis AC. Rectangulum ADG ad rectam UD applicetur et faciat latitudinem DF. Juncta FH tanget cissoidem. Indicemus etiam mnodum agendi in conchoide Niconzedea, sed indicemus tantun, ne prolixior evadat sermo. Esto conchois Nicomedea, ut construitur apud Pappum et Eutocium (') figura sequens (fig. 102). Polus est punctum I, recta KG est Fig. 102. A z -K L\ \ H C,

Fig. 102.

asymptotos curvæ, recta IHE perpendicularis ad asymptoton, punctum N datum in curva, ad quam ab eo puncto ducenda est tangens NBA, concurrens curn IE in puncto A. Sit factum, ut supra. Ducatur NC parallela KG. Ex proprietate specifica curve, recta LN est tequalis recte HE. Sumatur quodlibet punc(1) PAPPUS (6d. Hultsch), livre III, pages 58 et suivantes, livre IV, pages 242 et suivantes; EUTOCIUS, Commentaire sur Archimede De sph. et cyl., 1I (ed. Heiberg, vol. II, p. 117). 162 (fEUVRES DE FERMAT. - I1" PARTIE. turn inter C et E, ut D, a quo rectse CN parallela ducatur DB, occurrens tangenti in puncto B. Quia igitur proprietas specifica debet considerari in tangente, jungatur BI, occurrens rectt KG in M et, ex prseceptis artis, recta MB adeqquetur recte HE: orietur tandem qutesita æqualitas. Quod ut procedat, CA, ut supra, vocetur A; recta CD vocetur E; recta EH data vocetur Z, et reliquie datk suis nominibus designentur. Invenietur facillime recta MB in terminis analyticis, quæ si adcequetur, ut dictum, recta HE, solvetur qusestio. HEec de priore casu videntur sufficere. Licet enim praxes infinitwc suppetant, quse prolixitates evitant, ex iis tamen nullo negotio deduci possunt. Secundo casui, quem difficilem judicabat Dominus Descartes ('), cui nihil difficile, elegantissima et non insubtili methodo fit satis. Quamrdiu rectis tantum lineis homogenea implicabuntur, quærantur ipsa et designentur per præcedentem formulam. Imo et, vitanda asymmetriæ causa, aliquando, si libuerit, applicate ad tangentes ex superiore methodo inventas pro applicatis ad ipsas curvas sumantur; et demunm (quod opera pretium est) portiones tangentium jam inventarum pro portionibus curvæ ipsis subjacentis sumantur, et procedat adaqualitas ut supra monuimus: proposito nullo negotio satisfiet. Exemplum in curva Domini de Roberval assignamus. Sit curva HRIC (fig. io3), cujus vertex C, axis CF; et, descripto semicirculo COMF, sumatur punctum quodlibet in curva, ut R, a quo ducenda est tangens RB. Ducatur a puncto R recta RMD, perpendicularis in CDF, quæ secet semicirculum in M. Ea igitur curvæ proprietas specifica est ut recta RD sit atqualis portioni circuli CM et applicatæ DM. Ducatur in puncto M, (1) Comparer la lettre de Roberval a Fermat, du 4 aout i64o, et celle de Descartes,i Fermat (6d. Clerselier, III, 6i), du 25 septembre i638.

MAXIMA ET MINIMA.

163

ex prtecedente methodo, tangens MA ad circulum eadem nempe procederent si curva COM esset alterius naturæ.

Fig. 103.

Ponatur factum quod quseritur, et sit: recta DB quæsita æqualis A; DA, inventa ex constructione, œqualis B; MA, itidem inventa, vocetur D; AMD data vocetur R; RD data vocetur Z; CM, portio cirtcumferentite data, vocetur N; I)E, recta utcumnque assumpta, vocetur E, et a puncto E-ducatur EOUIN parallela rectse RMD. Fiat Z in A - Z\in E ut A a A —E, ita Z ad quwt idcirco equabitur recta NIUOE. I *' iZ in A - Z in E Igitur recta in -ZiE debet adsequari (propter proprietatem specificam curvse que in tangente consideranda est) rectt OE una cuni curva CO; curva autem CO œquatur curve CM minus curva MO ergo Zin A -Z in E recta.A- debet adaquari rectæ OE et curve CAM minus curva MO. Ut autem hi tres termini ad terminos analyticos reducantur, pro recta OE, ad vitandam asymmetriam ex superiori cautione, sumlatur recta EU applicata tangenti, et pro curva MO sumatur portio tangentis MU, cui ipsa MO adjacet.

Ad inveniendam autem EU in terminis analyticis, fiet

R in B -B in E ut B ad B - E, ita R ad \frac{R in B - R in E}{B}

quae idcirco aequabitur ipsi EU.

Ad inveniendam deinde MU, fiet

D in E ut B ad D, ita E ad ---

quae idcirco, propter similitudinem triangulorum, ut supra, aequabitur ipsi MU. Curva autem CM vocata est N: igitur in terminis analyticis fiet adequalitas inter Z in A - Z in E Bin B- Rin E 1) in E --- ---- ex una parte, et --- - -- ex altera. Ducantur omnia in BinA, consistet adwequalitas inter ZinB inA —ZinBinE et RinBinA-RinAinEE-i Bin i A-Din - in AinE. Q()uu antem, ex proprietate curvse, Z 'equetur R+1V, erg() ZinB in A ex una parte æquatur Rin B in A + B in 1V in A ex altera; ideoque, ablatis conmmunibus, reliqua comparentur, Z in B in E nempe cum R in A in E - DinA in E. Fiat divisio per E; et, quia nullunm est hoc casu homogeneum supertluum, nulla fieri debet elisio. AEquetur igitur Zin B cum R inA — D in A: tiet igitur utt R — D ad B, ita Z ad A..Constructio: Ad construendum igitur problema, si fiat ut aggregatumr rectarum A, MD ad rectarn DA, ita RI1) ad D)B, juncta BR tanget curvam CR.

Quia vero ut summa rectarum MA, MD ad DA, ita MD ad DC,

ut facile est demonstrare, ideo faciendum erit

ut MD ad DC, ita RD ad BD,

sive, ut elegantior evadat constructio, junctae rectae MC ducenda erit parallela RB.

Eadem methodo species omnes illius curvae tangentes suas nanciscentur: constructionem generalem olim dedimus ^[35].

Quoniam vero quaesitum est de tangente quadratariae sive quadratricis Dinostrati ^[36], ita construimus ex praeceptis praecedentibus.

Sit quadrans circuli AIB (fig. 104), quadrataria AMC in qua, ad datum punctum M, ducenda est tangens.

Fig. 104.

Juncta MI, centro I, intervallo IM, quadrans ZMD describatur et, ducta perpendiculari MN, fiat ut MN ad IM, ita portio quadrantis MD ad rectam IO ^[37]; juncta MO tanget quadratariam. Haec sufficiant. Quia tamen sœpius curvatura mutatur, ut in conchoide Nicomedea, quae pertinet ad priorem casum, et in omnibus speciebus curvœ Domini de Roberval (prima excepta) que pertinet ad secundum, ut perfecte curva possit delineari, investiganda sunt ex arte puncta inflexionum, in quibus curvatura ex convexa fit concava vel contra: cui negotio eleganter inservit doctrina de maximis et minimis, hoc prwmisso lemmate generali:

Esto, in sequenti figura (fig. 105) ^[38], curva AHFG, cujus curvatura in puncto H, verbi gratia, nutetur. Ducatur tangens HB, applicata HC. Angoulus HBC erit minimus omnium quos tangentes cum axe ACD, sive infra, sive supra puncturn H, efficiunt, ut facile est demonstrare.

Fig. 105.

Sumatur enim, supra H punctum, punctum M; tangens occurret axi inter A et B, ut in N: igitur angulus ad N major erit angulo ad B. Similiter, si infra punctum H sumatur punctum F, punctum D, in quo concurrit tangens FD cum axe, erit inferius puncto B, et tangens DF occurret tangenti Bi ad partes F et H: igitur angulus ad D erit major angulo ad B.

Casus omnes non persequimur, sed modum tantum investigandi indicamus, quum curvarum formna infinitas species exhibeant. Ut igitur, verbi gratia, in exposito diagrammate, punctum H inve niatur, quseratur primum, ex superiore methodo, ad puncturn quodlibet curvw utcumque sumptum, proprietas tangentis. Hac inventa, quseratur, per doctrinam de maximis et minimis, punctum H a quo, ducendo perpendicularem HC et tatngentem HB, recta HC ad CB habeat minimam proportionem: ea enim statione angulus ad B erit minimus. Dico punctum H, ita inventum, esse initium mutationis in curvatura.

Ex prædicta methodo de maximiis et minimis derivantur artificio singulari inventiones centrorum gravitatis, ut alias indicavi Domino tde Roberval ^[39].

Sed et coronidis loco possunt etiam et, data curcv, inveniri ipsius asymptoti, quse in curvis infinitis miras exhibent proprietates. Sed hSec, si libuerit, fusius aliquando explicabimus et demonstrabimus.

---

VII.
PROBLEMA MISSUM AD REVERENDUM PATREM MERSENNUM
10^a die Novembris 1642 ^[40].

/lve/lire cylindrumn maximi ambituls in data sphcera. Detur sphæra cujus diameter AD (fig,. io6), centrum C. Quæritur cylindrus maximi ambitus in ea inscribendus. Sit factum, et cylindri qusesiti basis esto DE, latus EA (huic enini positioni aptari potest cylindrus, propter angulum in semicirculo rectum). Ambitus cylindri similis est quadrato DE et rectangulo DEA bis: Quærendum itaque maximum quadrati DE et rectanguli DEA bis aggregatum.

Quadratum DE æquatur rectangulo ADB (demissa perpendiculari EB), et rectangulum DEA æquatur rectangulo sub AD in BE. Quarimus igitur Amaximum rectanguli ADB et rectanguli sub AD in BE bis aggregatum et, omnibus ipsi AD rectwe datwe applicatis, qu'eritur maximum rectarum DB et BE bis aggregatum.

Hoc autem est facile: fiat enim CB dimidia BE aut, quod idem est, sit BC quinta pars potentiai quadrati CE dati, punctum E satisfaciet proposito.

Fig. 106.

Ducatur enim tangens EF cum diametro producta in puncto F conveniens Aio summam rectarum DB, BE bis esse maximam.

Quum enim CB sit dimidia BE, ergo BE erit dimidia BF; ergo BF erit Tqualis duplRe BE: tota igitur DF rectis DB et BE his erit cqualis. Sed et patet aggregatum rectarum DB, BE bis esse maximum.

Sumatur enim quodvis punctum in semicirculo, < ut > 1, a quo demittatur perpendicularis IN.

A puncto autem I ducatur 1G parallela tangenti, occurrens cliametro in puncto G. Punctum G erit inter puncta F et D: alioqui parallela GI non occurret semicirculo.

Est

ut FB ad BE, ita GN ad NI,propter parallelismum; sed FB est dupla BE: ergo GN est dupla NI, ideoque GN est æqualis NI bis, et tota GD aggregato rectarum DN etNI bis. Quum igitur GD (cui æquatur aggregatum DN, NI bis) sit minor recta DF (cui atquatur rectarum DB, BE bis aggregatum), ergo rectarum DB, BE bis aggregatum est maximum, et cylindrus qusesitus babet basim DE et latus EA.

Probabitur ex supra dictis rectam DE ad EA ita esse ut majus segmentum rectse extrema ac media ratione sectæ ad minus.

Sed et cylindrum dali ambitis eadem via iwnenire et construere possumus.

Statim quippe deducetur quwestio ad quœrendam rectarum DN, NI bis summam æqualem data recte. Sit recta data DG (quæ quidem ex superiori determinatione non potest esse major recta DF). Fiat rectæ FE parallela recta GI: punctum I satisfaciet quæstioni et quandoque duos cylindros exhibebit, quandoque unicum, propositioni satisfacientes.

Quum enim punctum G erit inter F et A, duo cylindri prestabunt propositum; si vero punctum G sit in A aut ulterlus, unicus tantuni cylindrus præstabit questionem ^[41].

VIII.
ANALYSIS AD REFRACTIONES.^[42]

Esto circulus ACBI (fig. 108), cujus diameter AFDB separet duo media diversec nature, quorum rarius sit ex parte ACB, densius ex parte AIB. Ponatur centrum circuli punctum D, in quod incidat radius CD a puncto C dato. Quaeritur radius diaclasticus DI, hoc est punctum I ad quod vergit radius refractus.

Fig. 108.

Ducantur ad diametrum perpendiculares rectae CF, IH. Quum datum sit punctum C et diameter AB, necnon et centrum D, datur pariter punctum F et recta FD.

Sit ratio mediorum, sive ratio resistentie medii densioris ad resistentiam medii rarioris, ut recta data DF ad datam extrinsecus rectam M, qua quidem minor erit recta DF, quum resistentia medii rarioris sit minor resistentiâ medii densioris, ex axiomate plus quam naturali.

Mensurandi igitur veniunt motus, qui fiunt per rectas CD et DI, bene ficio rectarum MI et DF: hoc est, motus, qui fit per duas rectas, repriesentatur comparative per summam duorum rectangulorum, quorum unum fit sub CD et recta AM, et alterum sub DI et recta DF.

Eo itaque deducetur quæstio, ut ita secetur diameter AB in puncto H ut, ducta ab eo perpendiculari HI et juncta, DI, summa duorum rectangulorum sub CD et Ml et sub DI et DF contineat minimum spatium.

Quod ut secundum nostram methodum, quæ jam apud Geometras invaluit et ab Herigono ^[43] in Cursu suo mathematico ante annos plus minus viginti relata est, investigemus, radius CD datus vocetur N; radius DI erit item N; recta DF vocetur B et ponatur recta DHI esse A. Oportet igitur Nin M - N in B esse minimam quantitatem ^[44].

Intelligatur quuevis recta DO, ad libitum sumpta, esse equalis ignotse E, et jungantur rectse CO, 01. Quadratum rectwe CO, in terminis analyticis, erit

Nq. -- E q. - B in Ebis;

quadratum vero rectse 01 erit

Nq. +- Eq. +A in E his:

ergo rectangulum sub CO in k erit in iisdem terminis

latus quad. (Mq. in Nq. -+ Mq. in Eq. - Mq. in B in E his);

rectangulum vero sub 10 in B erit

latus quad. (Bq. in Nq. +- Bq. in Eq. 4- Bq. in A in E his).

Hæc duo rectangula debent, ex praceptis artis, adæquari duobus rectangulis l in N et B in N.

Ducantur omnia quadratice, ut tollatur asymmetria; deinde, ablatis communibus et termino asymmetro ex una parte collocato, fiat novus ductus quadraticus. Quo peracto, demptis communibus et reliquis per E divisis, ac tandem elisis homogeneis ab E affectis, juxta pracepta methodi qua- dudumn omnibus innotuit, et facto parabolismo, fit tandem simplicissima æquatio inter A et M: hoc est, a primo ad ultimum abruptis omnibus asymmetriarum obicibus, recta DH in figura fit æqualis rectæ M.

Unde patet punctum diaclasticum ita inveniri si, ductis rectis CD et CF, fiat ut resistentia medii densioris ad resistentiam medii rarioris, sive

ut B ad M, ita recta FD ad rectam DH,

et a puncto H excitetur recta HI ad diametrum perpendicularis et circulo occurrens in puncto I, quo refractio verget: ideoque radius a medio raro ad densum pertingens frangetur versus perpendicularem, quod congruit omnino et generaliter invento theoremati Cartesiano, cujus accuratissimam demonstrationem a principio nostro derivatam exhibet superior analysis.

IX.
<SYNTHESIS AD REFRACTIONES> ^[45].

Proposuit doctissimus Cartesius refractionum rationem experientiæ, ut aiunt, consentaneam; sed, earn ut demonstraret, postulavit et necesse omnino fuit ipsi concedi, luminis motum facilius et expeditius fieri per media densa quam per rara, quod lumini ipsi naturali adversari videtur.

Nos itaque, dum a contrario axiomate - motum nempe luminis facilius et expeditius per media rara quam per densa procedere - veram refractionumn rationem deducere tentamus, in ipsam tamen Cartesii proportionem incidimus. An autem contraria omnino via eiderm veritati occurri possit &krcapa Xoyt<oT, videant et inquirant subtiliores et severiores Geometræ; nos enim, missa matæotechnia, satius existimamus veritate ipsa indubitanter potiri, quam superfluis et frustatoriis contentionibus et jurgiis diutius inhærere.

Demonstratio nostra unico nititur postulate: naturam operari per modos et vias faciltores et expeditiores. Ita enim oc'l.aT concipiendum censemus, non, ut plerique, naturam per lineas brevissimas semper operari.

Ut enim Galilæus^[46], dum motum naturalem gravium speculatur, rationem ipsius non tam spatio quam tempore metitur, pari ratione non brevissima spatia aut lineas, sed qute expeditius, commodius et breviori tempore percurri possint, consideramus. Hoc sdpposito, supponantur duo media diversœ naturia in prima figura (fig. 1o9), in qua circulus AHBM, cujus diameter ANB separat illa duo media, quorum unum a parte M est rarius, alterum a parte H est densius; et a puncto M versus H inflectantur quelibet recte MNH, MRH occurrentes diametro in punctis N et R.

Fig. 109.

Quum velocitas mobilis per MN, quw est in medio raro, sit major, ex axiomate aut postulato, velocitate ejusdem mobilis per NH, et motus supponantur uniformes in quolibet videlicet medio, ratio temporis motis per MN ad temlpus motus per NH componitur, ut notum est omnibus, ex ratione MN ad NH et ex reciproca ratione velocitatis per NH ad velocitatem per MN.

Si fiat igitur

it velocitas per MN ad velocitatem per NH, ita recta MN ad NI, tempus motus per MN ad tempus motis per NH erit ut IN ad NH.

Pari ratione demonstrabitur, si fiat

ut velocitas per medium rarius ad velocitatem per medium densius,

ita MR ad l/P,

tempus motus per MR ad tempus motus per RH esse ut PR ad RH.

Unde sequitur

tenmpus motus per duas MN, NH esse ad tempus motels per duas MR, RH uit summa duarum IN, NiH ad summarm duarum PR, RH.

Quum igitur natura lumen a puncto MA versus punctumn H dirigat, debet investigari punctum, ut N, per quod per inflexionemn acu refrac tionem brevissino tempore a puncto M ad punctum H perveniat : probabile namque est naturam, qut operationes suas quam citissime urget, eo sponte collimaturam. Si itaque summa rectarum IN, NH, quæ est mensura motûs per inflexam MNH, sit minima quantitas, constahit propositum.

Hoc autem ex theoremate Cartesiano deduci vera, non fucata, Geometria statim demonstrabit; proposuit quippe Cartesius:

Si a puncto M ducatur radius MN, et ab eodem puncto M demnittatur perpendicularis MD,fiat autem

ut velocitas major ad minorem, ita DN ad NS,a puncto autlen S excitetur perpendicularis SH et jungatt r radius NH, lumen a medio raro in punctum N incidens refringi in medio denso versus perpendiculare7n ad punctum H.

Huic vero theoremati Geometria nostra, ut constabit ex sequenti propositione pure geometrica, non refragatur.

Eslo circulus AHBM, cujus diameter ANB, centrum N, in cujus circumferentia sumpto quovis puncto M, jungatur radius MN et demittatur in diametrum perpendicularis MD. Detur pariter ratio DN ad NS et sit DN major ipsa NS. A puncto S excitetur ad diametrum perpendicularis SH occurrens circumferentixe in puncto H, a quo jungatur centro N radius HN. Fiat

ut DN ad NS, ita radius MN ad rectam NI:Aio summam rectarum IN, NH esse minimam: hoc est, si sumatur, exempli gratia, quodlibet puncturm R ex parte semidiametri NB, et jungantur recta MR, RH, fiat autem ut DN ad NS, ita MR ad RP,sumamam rectarum PR et RH esse majorem summa rectarum IN et Nl.

Quod ut demonstremus, fiat

ut radius MN ad rectam DN, ita recta RN ad rectam NO, et ut DN ad NS, ita fiat NO ad NV.

Ex constructione patet rectam NO minorem esse recta NR, quia recta DN est minor radio MN; patet etiam rectam NV minorem esse recta NO, quum recta NS sit minor recta ND.

His positis, quadratum rectæ MR æquatur quadrato radii MN, quadrato rectas NR et rectangulo sub DN in NR bis, ex Euclide; sed, quum sit, ex constructione,

ut MN ad DN, ita NR ad NO,ergo rectangulum sub MN in NO æquatur rectangulo sub DN in NR, ideoque rectangulum sub MN in NO bis œquatur rectangulo sub DN in NR bis: quadratum igitur rectæ MR æquatur quadratis MN et NR et rectangulo sub MN in NO bis.

Quadratum autem rectas NR est majus quadrato rectæ NO, quum recta NR sit major recta NO: ergo quadratum rectse MR est majus quadratis rectarum MN, NO et rectangulo sub MN in NO bis. At hac duo quadrata, MN, NO, una cum rectangulo sub MIN in NO bis, sunt æqualia quadrato quod fit ab MN, NO tanquam ab una recta: ergo recta MR est major summa duarum rectarum MN et NO.

Quum autem, ex constructione, sit

ut DN ad NS, ita MN ad NI et ita NO ad NV,ergo erit ut DN ad NS, ita summa rectarum MN, NO ad summam rectarum IN et NV,Est autem etiam ut DN ad NS, ita MR ad RP:ergo ut summna rectarum MN, NO ad summam rectarum IN, NV, ita recta MR ad RP.

Est autem recta MR major summai rectarum MN, NO: ergo et recta PR est major summa rectarum IN, NV. Superest probandum rectam RH esse majorem recta HV; quo peracto, constabit summam rectarum PR, RH esse majorem summa rectarum IN, NH.

In triangulo NHR, quadratume RH tequatur quadratis HN, NR mulctatis rectangulo sub SN in NR bis, ex Euclide. Quum autem sit, ex constructione,

ut MN radius (sive NH ipsi zequalis) ad DN, ita NR ad NO, ut autem DN ad NS, ita NO ad NV,ergo, ex tequo, erit ut HN ad NS, ita NR ad NV.

Rectangulum ergo sub HN in NV Tequale est rectangulo sub NS in NR, ideoque rectangulum sub HN in NV bis tequatur rectangulo sub SN in NR bis: quare quadratum HR œquatur quadratis HN, NR mulctatis rectangulo < sub > HN < in > NV bis.

Quadratum vero NR probatum est majus esse quadrato NV: ergo quadratum HR majus est quadratis HN, NV mulctatis rectangulo < sub > HN < in > NV his. Sed quadrata HN, NV mulctata rectangulo < sub > HN < in > NV bis æqualia sunt, ex Euclide, quadrato rectRe HV: ergo quadratumr HR quadrato HV majus est, ideoque recta HR major recta HV. Quod secundo loco fuit probandum.

Quod si puncture R sumatur ex parte semidiametri AN, licet rectte MR, RH sint in directum et rectam lineam constituant, ut in secunda figura (fig'. io), - demonstratio enim est generalis in quolibet casu -- idem continget: hoc est, rectarum PR, RH summa erit major summni rectarum IN, NH.

Fiat, ut supra,

ut MN radius ad DN, ita RN ad NO,et ut DN ad NS, ita NO ad NV:

patet rectam RN esse majorem recta NO, rectam vero NO esse majorem rectâ NV. Quadratum MR Tquatur quadratis MN, NR mulctatis rectangulo DNR bis sive, ex superiori ratiocinio, rectangulo MNO bis. Quum autem quadratum NR sit majus quadrato NO, ergo quadratum MR erit majus quadratis MN, NO mulctatis rectangulo MNO bis; sed quadrata MN, NO, mulctata rectangulo MNO bis, equantur quadrato

Fig. 110.

rectæ MO: ergo quadratum rectwe MR quadrato rectat MO majus erit, ideoque recta MR erit etiam major rectâ MO.

Quum autem. sit, ex constructione,

ut DN ad NS, ita MN ad IN et ita NO ad NV,ergo ut MN ad IN, erit NO ad NV,et, vicissim, ut MN ad NO, ita erit NI ad NV,et, dividendo, ut MO ad ON, ita IV ad VN,et, vicissim, ut MO ad IV, ita ON ad NV, sive DN ad NS, sive MR ad RP.

Probatum est autem MR ipsa MO esse majorem: ergo PR recta IV major erit. Superest ergo probandum, ut ex omni parte constet propositum, rectam RH esse majorem summa duarum rectarum HN et NV; quod ex prsedictis est facillimum.

Quadratum enim RH æquatur quadratis HN, NR una cum rectangulo sub SN in NR bis sive, ex prademonstratis, una cum rectangulo sub HN in NV bis; quadratum autem NR est majus quadrato NV: ergo quadratum HR majus est quadratis HN, NV una cum rectangulo sub HN in NV bis. Unde sequitur rectam RH, ex superius demonstratis, esse majorem summat rectarum HN, NV.

Patet itaque rectas PR, RH (sive unicam rectam PRH quando id contingit) esse semper majores duabus rectis IN, NH. Quod erat demonstrandum.

1. Cet écrit, envoyé, par l'intermédiaire de Mersenne, à Descartes, qui le reçut vers le 10 janvier 1638, devint dès lors, entre Fermat et l'auteur de la Géometrie, le principal thème de la polémique déjà ouverte à propos de la Dioptrique.

   Le second alinéa se retrouve intégralement vers la fin de l'écrit IV suivant. Les additions entre crochets - aut gradibus (ligne 3 de l'alinéa); sub (page 134, ligne 2) - sont empruntées à cette seconde rédaction et ne doivent pas avoir figuré dans la première. Les seules autres divergences correspondent aux leçons suivantes du texte postérieur: page 134, lignes, 2, 3 « Elisis.. honmogeneis..... involutis, reliqua  » - ligne 4: « istius ultimæ ».

2. Diophante emploie (V, 14 et 17), dans un but special et pour désigner une égalité approximative, les termes de παρισότης et de πάρισον, que Xylander et Bachet ont traduits par adœqualitas et adœquale.
3. Voir ci-après sous le numéro II.
4. Voir les lettres de Fermat à Roberval des 22 septembre, 4 novembre et 16 décembre 1636.
5. Cet écrit parait être celui que Fermat adressa, pour Roberval, à Mersenne, avec sa lettre du 20 avril i638. Mersenne en envoya 1'énoncé à Descartes. le 1^er mai suivant, sans prendre soin de supprimer les derniers mots, malgré l'allusion directe qu'ils renfermaient.
6. ARCHIMÈDE, De æquiponderantibus, II, prop. vii.
7. ( PETIT. IX. Cujuscumque figuræ si fuerit ambitus in easdem partes cavus, centrum, gravitatis figuræ intus esse ), page i58 de F'6dition ARCHIMEDIS Opera quce extaCt, novis demonstrationiibus commentariisque illustrata per Davidem Rivaltum a Flurantia Cænomanum etc. - Parisiis, apud Claudium Morellum, via Jacobwea, ad insigne Fontis,AI. DC. XV.
8. ARCHIMEDE, De conoldibus et spheroidibus, prop. xxvi.
9. Ces relations étaient connues, d'apres ARCHIMEDE, De iis quce veahuttulr in aquc, Livre II, prop. 2 et suivantes. Elles étaient d'ailleurs démontrées dans la proposition 29 de l'Ouvrage: Federici Commandini Urbinatis liber de centro gravitatis solidorum. Cum privilegio in annos X. Bononie ex officina Alexandri Benacii. M. D. LXV, publié en même temps que la restitution, par Commandin, du Traite précité d'Archimède, ou elles sont seulement supposées.
10. Ce rapport avait déjà été indiqué à Roberval dans la lettre de Fermat du 4 novembre 1636.
11. Voir la note 2 de la page 133.
12. Le texte veritable est douteux Fermat n'a du ecrire que l'un des deux mots, corzparattionein ou adcequalitatenz, qu'il employait comme synonymes; Pautre serait une glose du copiste ou du possessour de l'original. MAme remarque pour comparatio et adcequalitas, quatre lignes plus bas.
13. En realité, Fermat étend singulierement ici le sens donné au mot affectio par Viète (voir notamment In Artem JlAalytice/z Iscgoge, cap. III, 9, p. 3 de l'edition de Schooten). Viete en effet entend par la la presence, a la suite de la potestas (puissance d l'inconnue, sans cœfficient), de termles de dcgre moins elev6. Ainsi, pour lui, xn serait une potestas pura (si x 2); tout polyn6me entier en x (ayant l'unit6 pour cœfficient du terme de degré le plus élevé) et s'annulant avec x, une potestas affecta.
14. Pappus, 6d. Commandin, fol. 159 recto, ligne 14; ed. IHultsch, page 6.4, ligne 3.
15. Pappus, 6d. Commandin (cf. éd. Hultsch, page 758, ligne i), prop. 61: Fol. I96 recto: ( LEII. XXI. Tribus datis rectis lineis AB BC CD, si fiat ut rectangulum ABD ad rectangulum ACD, ita quadratum ex BE ad quadratum ex EC, singularis proportio, et minima est rectanguli AED ad rectangulum BEC., Fol. 196 verso A: « commentarius. Græcus codex ὀ μοναχὰς λόγος καὶ ἐλάχιστός quibuis verbis quid significetur, quidque per monachos, et epitago na in his lemmatibus intelliget, satis percipi non1 potest, cunm Apollonii libris carcamus, il quos en conscripta sunt. » Les lettres A, B, E, C, D de Commandin correspondent respectivement aux lettres 0, M, N, I, D de Fermat.
16. Voir, dans la note 2 de la page 142, la traduction par Commandin du texte de Pappus et la correspondance indiquée pour les lettres.
17. Appolonius, Coniques, I, 34.
18. Fermat semble ne faire allusion ici qu’à l’Ecrit II qui précède. Cet Ecrit fut effectivement envoyé a Roberval, par l’intermédiaire de Mersenne, en avril 1638 ; il n’y a au contraire, dans la correspondance connue de Fermat, aucun indice sur une application de sa méthode à la recherche des asymptotes.
19. Cet important morceau a été conservé par une copie de Mersenne, aujourd’hui perdue elle-même, mais dont il subsiste deux transcriptions de la main d’Arbogast : l’une au net (Manuscrit du prince Boncompagni), l’autre en brouillon (Bibl. Nat., Fonds frzanctis, 3280, nouv. acq.), qui a servi à M. Ch. Henry pour le texte qu’il a donné : Recherches sur les manuscrits de Pierre de Fermat (Rome, 1880), pages 180-183.
20. Viète, De recognitione aequationum, cap. 16, et De emendatione aequationum, cap. 3 (éd. Schooten, p. 104 et suiv., 134 et suiv.). La syncrisis de Viète correspond à la recherche de la composition des cœfficients d’une équation en fonction des racines de cette équation ; l’anastrophe a pour objet l’abaissement du degr6 (impair) d’une equation, quand on connaît une racine de la transformée obtenue en changeant le signe de l’inconnue. Dans tout ce fragment, au reste, Fermat emploie les expressions techniques de Viete et applique les procédés de ce dernier.
21. Voir plus haut, page 142.
22. Voir plus haut la même question traitée, page 134.
23. Voir plus haut la même question traitée, page 140.
24. Voir plus haut la même question traitée, page 142.
25. Allusion à la lettre de Descartes à Mersenne pour Fermat, du 18 janvier 1638: « Car premièrement la sienne [la règle de Fermat] est telle que, sans industrie et par hasard, on peut aisément tomber dans le chemin qu'il faut tenir pour la rencontrer. »
26. Ce vers latin n'est tiré d'aucun classique; peut-etre est-il de Fermat lui-même.
27. Morceau inédit, publié sur la copie d'Arbogast, qui porte la mention « d'après le manuscrit de Fermat ».
28. Question proposée par Fermat à Mersenne dans sa lettre du 26 avril 1636.
29. ARCHIMÈDE, De sphæra et cylindro, I, I5, donne la mesure de la surface latérale du cône,
30. APOLLONIUS, Coniques, II, 3.
31. Cette pièce, imprimée dans les Varia (p. 69 a 73), est la seule pour laquelle il subsiste un original de Fermat (Bibl. Nat., Fonds francais, n~ 3280, nouv. acq., fol. 12 a 1i7), d'ailleurs sans titre.
32. Voir plus haut, page 142, note I.
33. Le mot legitimum manque sur loriginal de Fermat, ce qui prouve assez que cet original est lui-même défectueux. L'éditeur des tartia a restitue, pour l'adjectif manquant, sufficies, expression qui n'est guere de la langue de Fermat et dont 'omission s'explique moins bien.
34. La courbe connue sous le nom de cissoïde se trouve définie et donnée comme employée par Dioclès, dans le commentaire d'Eutocius sur la proposition d'Archimede, De sphæra et cylindro, II, 2, éd. Torelli = II, t, éd. Heiberg (Vol. III, p. 78 et suiv.). Le nom de cissoïde est emprunté à Proclus (Commentaire sur le premier livre d'Euclide), qui en parle comme d'une courbe fermée et présentant des points de rebroussement.
35. En 1638 (voir plus haut la note 1 de la page 162). Cette construction générale, applicable aux cycloides allongées ou raccourcies, est perdue.
36. PAPPus (6d. Hultsch), livre IV, pages 25o et suivantes. Proclus (Commentaire sur le premier livre d'Euclide) attribue à Hippias l'invention de la quadratrice.
37. L'original, comme les Varia, donne:

    « ut IM ad MN, ita portio quadrantis MD ad rectam NO »;
    mais toute la ligne se trouve en surcharge d'une autre main, qui a corrigé le texte de Fermat, en sorte qu'on ne peut plus le discerner.

38. La figure manque dans les Varia.
39. Voir plus haut, page 136.
40. Ce titre est tire du manuscrit de la Bibliotheque Nationale, Fonds latin, 11197; il n'existe pas dans les manuscrits du prince Boncompagni, ou l'on trouve une ancienne copie du morceau, en dehors de celle d'Arbogast. Fermal avait propose a Mersenne ce probleme, des le o0 avril i636, en m6me temps que celui du cone inscrit de surface maximum (voir ci-dessus, p. I55). La solution, envoyee six ans apres, est d'ailleurs purement synthetique. Tout le morceau a 6te publie par M. Ch. Henry (Recherches sur les mazluscrits de Pierre de Fermnat), pages 195-J96, d'apres la premiere source seulement.
41. Le manuscrit Fonds latin 11197, seul des trois sources, ajoute à cette solution les trois corollaires suivants, qu'on doit attribuer ai Mersenne plutôt qu'à Fermat: Corollarum primum. - Tangens EF cequalis est diametro AD. Quia enim, in triangulo CEF rectangulo ad E, ex angulo E deducta est ad basim CF perpendicularis EB, erunt similia triangula CEF, CEB et EFB; sed BC est dimidia ipsius BE, ex constructione: ergo CE dimidia est ipsius EF. Est autem et CE dimidia diametri AD: ergo EF æqualis est ipsi AD. Corollarum secundum. - Ex prcedento corollario deducitur elegans constrcttio problenmatis et multo facilior, quæ talis est. Sumatur in circumferentia circuli AED punctum quodcumque E, ex quo deducatur recta EF tangens circulum, quwe sit equalis diametro circuli AED; et sic dabitur punctum F, ex quo per centrum C ducatur FCD secans circumferentiam in A et D punctis. Jungantur EA, ED; erit AE altitudo cylindri maximi quæsiti et DE diameter basis ipsius cylindri., Demonstratio facilis est. Corollarum tertium. - Notatu dignum est DE esse ad EA in ratione nlcjorlis segmenti ad minzus rectce medid ac extrenmd ratione divisæ. > Fiat enim CN (fig. 107) æqualis CB: ergo ND œquabitur BA, et BN ipsi BE. Porro qua Fig. 107.
    

    dratum ex DE mequale est rectangulo ADB sive duobus rectangulis primo ADN (hoc est DAB), et rectangulo ex AD in NB (hoc est ex AD in BE); sed rectangulum DAB æquatur quadrato ex AE; reetangulum vero ex AD in BE æquatur rectangulo AED. Hoc est rectangulo ex linea composita AED in AE; erit igitur ut tota linea AED ad DE, ita DE ad AE: ergo AED recta secta est in E in extrema ac media ratione, estque DE majus segmentum, AE vero minus. Quod erat probandum.

    De hoc problemate vide Tractatum Domini de Roberval De conis et cylincdris.splhTr(e il.scriptis et circumncriptis: ibi enim verus est ejus locus.

    Le titre du Traité, auquel il est ainsi renvoye, se retrouve dans une Lettre de Roberval Ilevelius, de 1650, qu'a publiée M. C. Henry (Huygens et Roberval, Leyde, 1879, p. 38).

42. Ce morceau, tiré de la Correspondance de Descartes, fut envoyé par Fermat à M. de la Chambre, en même temps que la Lettre du 1^er janvier 1662.
43. Dans le Supplemenztum Cursu.s matheneatici de Pierre IIrigone (Paris, 1642; deuxième édition, 1644), qui forme le sixieme Volume de l'Ouvrage, on trouve en effet, comme proposition XXVI et sous le titre De maximis et minimis, l'application de la méthode de Fermat à la solution des questions suivantes: 1. Invenire maximutm rectangulum contentum sub duobus segmentis propositce rect(w linec (voir plus haut, p. I34). 2. Indagare maximum reectazng'ulum comprehe/.sum sub media et differentia extremarum trium plroportiotalium. 3. Datam linleam secare in duo seg'menzta quce Iabeant caggregatumz sueo'i1 quadrCatorum omniunm minimtlunm. 4. Inzvenire maximum conorum rectorum sub cequalibus conicis superficiebus conItentum. En outre de ces solutions, dans lesquelles Herigone emploie d'ailleurs, comrnme dans tout son Ouvrage, son systeme particulier de notations alg6briques, il donne, toujours d'apres Fermat, la construction de la tangente en un point donn6 de la parabole (voir plus haut, p. i35), de l'ellipse (voir p. [45) et de l'/hyperbole. Il ajoute enfin (p. 68):, Nec unquam fallit methodus, ut asserit ejus inventor, qui est doctissimus Fermat, consiliarius in parlamento Tolosano, excollens geometra nec ulli secundus in arte analytica: qui optime etiam restituit omnia loca plana Apollo/zii Pergcei, qum in hac urbe vidimus manu scripta in manibus plurimorum, quibus subnexa est etiam ab eodem auctore Ad locos planos et solidos Isragog'e. ) Ce passage d'l-erigone a 6te reproduit par Samuel Fermat dans l'edition des Faaria (a la derni6re des pages non num6rotees du commencement); mais, dans sa pr6face, il lui assigne a tort la date de i634, qui est celle du premier Volume du Cursus mathematizcs.
44. Dans tout ce morceau, on a retabli la notation de Vibte au lieu de celle de Descartes suivie par Clerselier.
45. Ce second morceau sur la loi de la refraction, confondu avec le precedent dans la Correspondance de Descartes, en est 6videmment distinct: c'est le travail que Fermat promet a M. de la Chambre a la fin de sa lettre du ie' janvier I662, si celui-ci le lui reclame, et c'est 6galement a cette piece que se r6fere particulierement Clerselier, dans sa lettre a Fermat du go mai 1662. D'apres la copie de Clerselier, l'envoi a M. de la Chambre aurait eu lieu en f6vrier 1662.
46. Discorsi e dimostrazionzi matematiche intorlno c due nove sciceize attenzenti alla Mrecanica ed i movimenti locali, del Sigr Galileo Galilei (Leyde, Elzevirs, I638). - Les nouvelles pens6es de Galilee, etc., traduit de litalien en francais (Paris, Pierre Rocolet ou Henry Guenon, 1639).