Œuvres de Fermat/I/Contacts sphériques

Pierre de Fermat

Contacts sphériques.

Œuvres de Fermat, Texte établi par Paul Tannery, Gauthier-Villars, 1891, 1 (p. 52-69).

Contacts sphériques

DE CONTACTIBUS SPHAERICIS.

Apollonii Pergai doctrinam περί ἐπαφῶν restituit eleganter Apollonius Gallus aut sub illius nominis larva Franciscus ille Vieta Fontenænsis^[1], cujus mirac in lathematicis lucubrationes Veteri Geometriae felices praestitere suppetias. Verum qui materiam hanc contactuum, quae hactenus substitit in planis, ulterius promoverit et ad sphaerica problemata evehere sit ausus, adhuc, quod sciam, exstitit nemo; praeclara tamen inde problemata deduci et ad eleganter sublimiorum problematum constructionem facillime derivari patebit statim. Quaerenda itaque sphæra qua per data puncta transeat aut sphaeras et data plana contingat. Quindecin probiematis totum negotium absolvetur.

Problema I.

Datis quatuor punctis, sphaeram invenire quae per data transeat.

Dentur quatuor puncta N, O, M, F (fig. 49), per quæ sphaera describenda est.

Sumptis ad libitun tribus N, O, M, circa triangulum NOM, quod in uno esse piano constat ex Elementis, describatur circulus NAOM-, quem et magnitudine et positione dari perspicuum est. Esse autem circulum NAOM in superficie inveniendte sphlere patet ex eo quod, si spheTra plano secetur, sectionem dat circulum; at per tria puncta N, M, O unicus tantum circulus describi potest quer jam construximus: quum igitur tria puncta N, 0, M sint in superficie spbwhra quesitae, ergo planum trianguli NOM sphseram qussitam secat secundum citrculum NAOM, quem ideo in superficie sphliser esse concludimus. Sit ipsius centrum C, a quo ad planum circuli excitetur perpendicularis CEB; patet in recta CB esse centrt'm sphlerse qutesite. A puncto F in rectam CB demittatur perpendicularis FB, quam et positione et magnitudine dari perspicuum est. A puncto C lucatur ACD ipsi FIB

Fig. 49.^[2]

parallela; erit igitur angulus BCA rectus. Sed et recta BC est perpendicularis ad planurn circuli; ergo recta ACD est in plano circuli, ct datur positione; dantur itaque puncta A, D, in quibus cum circulo concurrit. Ponatur jam factum esse, et centrun inveniendce sphlere esse E, quod quidem in recta CB reperiri jam diximus ex Theodosio ^[3]. Junctte rectse FE, AE, ED erunt tequales, quum tria puncta, nempe F ex hypothesi etA et D ex demonstratis, sint in superficie sphserica. At tres rectæ FE, AE, ED sunt in eoderm piano: quum enim recte FB, ACD) sint parallelke, erunt in codem piano; sed et recta CB, ideoque tres FE, AE, DE. Si igitur circa tria puncta data A, F, D describatur circulus, ejus centrum E erit in recta CB, ac proinde et sphæræ quæsitæ centrum et sphæra ipsa non latebunt.

Problema II.

Datis tribus punctis et piano, invenire sphceram quce per data puncta transeat et planum datum contingat.

Dentur tria puncta N, O, M (fig. 50), per quæ circulus descriptus MEON; erit ad superficiem sphæricamn qussitam, ex jam demonstratis, et in excitata ad planum circuli recta IBA invenietur centrum sphæræ

Fig. 50.

quam quaerimus. Concurrat recta IBA cum piano dato in puncto A; dabitur igitur punctum A positione. A centro circuli MEON demittatur perpendicularis in planum datum ID; dabitur igitur punctum D, ideoque et recta AD positione et magnitudine, et pariter recte ID et IA. Dabitur igitur planum trianguli ADI positione; datur autem et planum circuli MON positione: ergo communis illorum planorum sectio FIE dabitur positione, ideoque dabuntur puncta E et F in circulo.

Sit factum et centrum sphærte quæsitte punctum B. Jungantur rectae BE, BF, et rectæ ID parallela ducatur BC. Quum triangulum ADI et recta EIF sint in eodem piano, ergo recte EB, BF, BC erunt in eodem piano; sed recta ID est perpendicularis ad planumn datum: ergo recta BC, ipsi parallela, est etiam perpendicularis ad planur datum. Quum igitur sphœra describenda planum AD datum contingere debeat, ergo ab ipsius centro demissa in planum perpendicularis BC dabit punctum contactus C; recte igitur BC, BE, BF erunt tquales et probatum est eas esse in eodem piano positione dato, in quo et recta AD.

Eo itaque deducta est quaestio ut, datis duobus punctis E et F et recta AD in eodem plano, queratur circulus qui per data duo puncta transeat et rectam datam contingat: cui problemati satisfecit Apollonius Gallus^[4]; dabitur igitur centrum spht re B et omnia constabunt.

Problema III.

Datis tribus punctis et sphcera, invenire spæram quce per data puncta transeat et sphceracm datam contingat.

Fig. 51.

Dentur tria puncta M, N, O (fig. 51), et sphæra IG; datur circulus MON in sphæra quæsita. Ad planum circuli erecta perpendicularis FCB, ut supra, continebit centrum sphatræ quam quserimus. A centro I sphæræ datae demittatur in rectam FB perpendicularis IB, quae dabitur positione et magnitudine. A centro F ipsi parallela ducatur ED, qua erit ex jam demonstratis in piano circuli; et dabuntur puncta E et D.

Sit factum et centrum sphLere quæsitæ C: ergo recthe IC, CE, CD erunt in eodem piano, quod et datum est, quum dentur puncta I, E, D. Contactus autem duarum sphærarum est in recta ipsarum centra connectente: ergo tanget sphæra quæsita spllhram datam in puncto G; recta igitur IC superabit rectas CE, CD radio IG. Centro I, intervallo radii sphlerici dati, describatur circulus in piano dato rectarum IC, CE, ED; transibit igitur per punctum G, et circulus ille positione et magnitudine dabitur; sed et puncta E et D in eodem piano.

Eo itaque deducta est quaestio ut ex Apollonio Gallo ^[5] quatratur methodus qua, datis duobus punctis et circulo in eodem piano, inveniatur circulus qui per data duo pulncta transeat et circulum datum contingat.

Problema IV.

Datis quatuor planis, inventir sphaeram quae data quatuor plana contingat.

Dentur quatuor plana AH, AB, BC, HG (fig. 52), quæ a sphæra quasita contingi oporteat.

Fig. 52.

Sint duo plana AF, FD (fig. 53) quae ab eadem sphæra contingantur. Bisecetur ipsorum inclinatio per planum BFHC; patet centrum sphere quæ duo plana AF, FD contingit, esse in piano bisecante, ut videatur inutile in re tam proclivi diutius immorari. Si plana AF, FD essent parallela, spherte centrum esset in piano ipsis parallelo et intervallum ipsorum bisecante.

Fig. 53.

Hoc posito, propter plana CB, BA (fig. 52) positione data, < est centrum spherwa qusesitæ ad planum positione datum, > quod nempe datorum CB, BA planorum inclinationem datam bisecat. Sed, propter duo plana BA, AH, est idem centrum sphwere qucesitw ad aliud planurm positione datum; ergo communis sectio duorum planorum positione datorum, quorum alterum inclinationem planorum CB, BA, alterum inclinationem planorum BA, AH bisecat, dabit rectam positione datam, in qua inveniendæ spæere centrum erit. Sit illa recta FE; sed, propter duo plana AH, HG, est etiam centrum sphœre quwesite ad aliud planum positione datum, cujus concursus cum recta FE positione data dabit punctum D, quod patet esse sphaerae quæsite centrum; et reliqua constabunt.

Problema V.

Datis tribus plants et puncto, invenire sphæram quæ perpunctum datum transeat et plana data contingat.

Sint data tria plana AB, BC, CD (fig. 54-) et punctum H: qu'erenda sphœra quæ, data tria plana contingens, transeat per punctum H. Sit factum tria plana data, ex prsecedentis propositionis ratiocinio, dabunt rectam positione datam, qut sedes erit centri sphrerici qumsiti. Sit illa GE, in quam a puncto dato H demittatur perpendicularis HI, quse et positione et magnitudine dabitur. Producatur ad F, ut sit IF aequalis IH; dabitur punctum F.

Quum autem sphreræ qusesitæ centrum sit in recta GE, ad quam lucta est perpendicularis HF bifariam secta in I, cujus unum ex extremis H est ad superficiem sphTricam ex hypothesi, erit et alterius extremum F etiam ad sphæricam superficiem. Imo et circulus, centro I,

Fig. 54.

intervallo IH descriptus in piano recto ad rectam GE, erit ad superficiem sphzerœ; datur autem ille circulus positione et magnitudine. Dato autem circulo sphærico positione et magnitudine et aliquo piano ut AB, datur, ex facili propositionis secunde hujus consectario, sphlera ad cujus superficiem sit circulus datus et que planumr datum contingat; deducta est itaque quæstio ad secundam hujus, nec reliqua latebunto

Problema VI.

Datis tribus planis et sphcera, invenire sphaceram quæ datamn sphæram et plana data contingat.

Dentur tria plana ED, DB, BC (fig. 55)et sphrera RM. Construenda est sphlera qute datam sphweram et tria pariter plana contingat.

Sit factum et sphera ERCA satisfaciat proposito, sphleram nempe in puncto R et plana in punctis E, A, C contingens. Sphterwe ERCA centrum sit 0; junctet RO, EO, AO, CO erunt æquales. Sed et recta OR transibit per datæ sphlerse centrum AM, et rectæ EO, OA, OC erunt perpendiculares ad plana data DE, DB, BC. Fiant recte OM tequales rectæ OV, OG, OI, et per puncta V, G, I intelligantur duci plana VP, G H, IN, datis ED, DB, BC parallela.

Quum recta OR sequalis sit OE, et ablata OM ablat'e OV, erit reliqua RAl: relique VE equalis; datur autem magnitudine RM, quum sit radius sphsræ date: datur igitur et VE magnitudine. Quum autem OE sit perpendicularis ad planum DE, erit etiam perpendicularis ad planumn PV, piano DE parallelurn; recta igitur VE erit intervallum planorum DE et PY. Sed datur VE magnitudine ex demonstratis; ergo datur planorum DE, PV intervallum. Sunt autem parallela hæc duo plana

Fig. 55.

et datur DE positione ex hypothesi; datur igitur et PV positione. Similiter probabitur plana GiH, IN dari positione, et rectas OY, OG, 01 ad ipsa esse perpendiculares et equales rectœ OM. Sphera igitur, centro 0, intervallo OM descripta, plana PV, GH, IN positione data contingit. Datur autem punctum M, quum sit centrum sphæræ datæ

Eo itaque deducta est quæstio ut, datis tribus planis PV, GH, IN et puncto M, inveniatur sphaera quæ per datum punctum M transeat et data plana PV, GH, IN contingat: hoc est, deducitur quaestio ad præcedentem.

Nec absimili in sequentibus artificio, quum nulla in datis puncta reperientur, sed sphæræ tantum aut plana, in locumr unius ex splheris puLnctum datum substituetur.

Problema VII.

datis duobus punctis et duobus planis, invenire sphæram quæ per data puncta transeat et plana data contingat.

Dentur duo plana AB, BC(fig. 56), et duo puncta HI, M. Quarenda sphTra quæ per puncta H4 et M transeat et plana AB, BC contingat.

Jungatur recta IM et bisecetur in I; punctum I dabitur. Per puncturn I trajiciatur planum ad rectam HM rectum. Quum sphwerica superficies puncta H, M contineat, certum est centrum sphlere esse in plano ad rectam HM normali et per punctum I transeunte. Datur autem hoc planur positione, quum recta HIM et punctum I sint data positione; ergo centrum sphæræ, propter puncta H et M, est ad planumn datum.

Fig. 56.

Sed et propter plana AB, BC, ut jam superius demonstravimus, est ad aliud planum datum: ergo est ad rectam positione datam. Sit illa GE, in quam demissa ab uno ex punctis datis M recta MF < perpendicularis > dabitur positione et magnitudine; et continuata in D, ut sit FD æqualis ME, erit punctum D datum et, ex superius demonstratis, erit etiam ad sphericam superficiem. Dantur itaque tria puncta H, M, D, per quæ sphæra quæsita transit; datur etiam planum AB, quod ab eadem sphæra contingi debet: deducta est itaque quæstio ad problema secundum hujus.

Priusquam progrediamur ulterius, præmittenda lemmata quædam facillima.

Lemma I. - Sit circulus BCD (fig. 57), extra quem sumpto quolibet puncto E, trajiciatur per centrum recta EDOB. Ducatur quælibet ECA; patet ex Elementis rectangulum AEC equari rectangulo BED.

Sit jam sphlera circa centrum 0, cujus maximus circulus sit ACDB; si ab eodem puncto E per quodlibet punctum superficiei sphecricue trajiciatur recta ECA, donec spher'e ex altera parte occurrat, rectangulum AEC erit similiter aqcuale rectangulo BED.

Fig. 57.

Si enim intelligatur circa rectam immobilem BDE converti et circulus et recta ECA simul, non immutabuntur recte EC et EA, quum puncta C et A circulos describant ad axem rectos, nec idcirco rectangulum AEC; erit itaque in quocumque piano equale rectangulo BED.

Lemma II. - Sint duo circuli in eodem piano ADE, HLO (fig. 58). Per centra ipsorum trajiciatur recta ACMP, et fiat

ut radius AC ad radium HM, ita recta CP ad rectam MP,

et a puncto P ducatur ad libitum recta POLED, ambos circulos secans in punctis 0, L, E, D. Demonstravit Apollonius Gallus ^[6] rectangula APQ, GPH esse æqualia, et ipsorum cuilibet æquari rectangula DPO, EPL.

In sphæricis idem quoque verurn esse sequentium problematum interest; patet autem ex eo quod, si circa axem AP immobilem tam circuli duo quam. recta POLED eodem tempore convertantur, non immutabuntur recte PO, PL, PE, PD, propter allatam in superiori lemmate rationem, nec idcirco rectangula; et in quocumque plano constabit propositum.

Fig. 58.

Lemma III. - Sint duse sphterse date YN, XM (fig. 59), per quarum centra trajiciatur recta RYNXMV, et fiat

ut radius YN ad radium XM, ita recta YV ad rectam VX.

A puncto V ducatur in quolibet piano recta VTS, et sit rectangulum

Fig. 59.

SVT aequale rectangulo RVM. Si describatur sphera quævis quæ per puncta T, S transeat et unam ex duabus datis contingat, alteram quoque continget.

Sit enim sphæra OTS, per puncta T et S descripta et sphæram MX in puncto O contingens, aio sphæram YN etiam a sphsera OTS contactam iri.

Producatur recta VO, donec sphærte OTS occurrat in Q: rectangulum igitur QVO, ex primo lemmate, est æquale SVT. Sed rectangulum SVT, ex constructione, est equale rectangulo RVM cui, ex secundo lemmate, est tequale rectangulum sub VO et recta per puncta V et O ad superficiem sphæricam sphteræ YN product: ergo punctum Q est ad superficiem sphæræ YN; commune igitur est et superficiei sphler YNN et superficiei sphæræ OTS.

Aio has duas sphæras in puncto eodem Q se contingere. Ducatur enim a puncto V qutelibet recta in quolibet piano < per quodlibet punctum > sphære OTS, et sit, verbi gratia, VZ, quæ producta secet sphæras tres in punctis Z, D, H, K, P, B. Rectangulum ZVB in sphera OTS, per primum et secundum lemma, est tquale DVP rectangulo, sphteris duabus XM et YN terminate. Sed DV est major recta VZ; quum enim sphtera OTS tangat exterius sphæram XM in puncto O, recta secans sphweram OTS prius ipsi occurret quam sphtere XM1. Quum ergo probatum sit rectangulum DVP æquari rectangulo ZVB, et recta ZV sit minor recta DV, ergo recta PV erit minor rectaI BV; punctum igitur B extra spheram YN cadet.

Simili ratiocinio concludetur omnia puncta sphxerwe ambientis exterius cadere, preter puncturm Q. Tangit igitur sphera OTS spheram YN; quod erat demonstrandum.

Nec absimilis aul difficilior in contactibus interioribus et in omnibus casibus demonstratio.

Lemma IV. - Sit planum AC (fig. 60) et sphæra DGF, cujus centrum O. Per centrum O ducatur FODB perpendicularis ad planun, et a puncto F ducatur recta quevis ad planum, sphleram secans in G et planum in A. Aio rectangulum AFG æquari rectangulo BFD.

Nam secentur sphæra et planum datum per planum trianguli ABF, et fiat circulus GFD in sphæra, in plano autem recta ABC. Quum recta FB sit perpendicularis ad planum AC, erit etiam perpendicularis ad rectam AC. Habemus igitur circulum DGF et rectam AC in eodem piano, et rectam FDB, per centrum circuli transeuntem, ad AC perpendicularem. Jungatur GD; anguli ad G et ad B sunt recti: ergo quadrilaterum ABDG est in circulo, ideoque rectangulum AFG æquale est rectangulo BFD. Quod etiam in quavis alia sphæræ sectione similiter demonstrabitur.

Fig. 60.

Lemma V. - Sit planum ABD (fig. 61) et sphæra EGF, cujus centrum O. Per centrum 0 trajiciatur recta FOEC perpendicularis ad planum, et in quovis alio piano ducatur recta FGHI, sitque rectangulum IFH æquale rectangulo CFE. Si per puncta I, H describatur sphæra quæ planum AC contingat, eadem sphtera tanget sphæram EGF.

Fig. 61.

Intelligatur construi sphæra IHB, quæ, per puncta I et H transiens, tangat planum AC in puncto B: Aio sphæram EGF contingi a sphæra IHB.

Jungatur recta FB et rectangulo CFE fiat æquale rectangulum BFN; punctum N, per præcedentem, erit ad superficiem sphæræ EGF. Sed et rectangulum CFE, ex constructione, est equale rectangulo IFH; rectangula igitur IFH, BFN sunt equalia, ideoque punctum N est etiam ad superficiem sphaeræ IBH.

Probandum jam sphæram EGF a sphæra IBH in puncto N contingi quod quidem facile est. A puncto enim F, per quodlibet punctunl sphberwc EGF, ducatur recta FR, quse sphseram IBH in M et P et planuml AC in K secet. Rectangulum KFR, ex precedente lemmate, æquatur rectangulo CFE, cui ex constructione æquatur rectangulum IFH, ideoque PFM. Rectangula igitur KFR et PFM sunt æqualia; sed recta KF est major rectâ FP, quia sphlera IBII tangit planumr AC in B ergo recta FR est minor rectâ FM. Punctum igitur R est extra sphæram IBH.

Idem de quocumque alio puncto, in quovis piano, spiherc EGF, xe utraque puncti N parte, probabitur; man ifestumn itaque sphæram EGF; a sphera IBH in puncto N contingi.

Hæc lemmata, licet sint facilia, pulcherrinma tamen sunt, tertiur præsertim et quintum: in tertio quippe infinite sunt sphteræ quw pier puncta T et S transeuntes sphæram XM contingunt, sed omnes illæ in infinitum tangent quoque ex demonstratis splateram YN; in quinto autem lemmate infinite sunt sphæræ quæ, per puncta I et H transeuntes, planum AC contingunt, sed ormnes illa pariter in infinitum sphæram EGF ex demonstratis contingent. His suppositis, reliqua problemata facile exsequemur.

Problema VIII.

Datis duobus punctis, plano et sphæra, invenire sphæram quæ per data puncta transeat et sphæram ac planum datum contingat.

Sit datum planum ABC (fig. 62), sphæra DFE et puncta H, M. Per centrum sphæræ datæ O in planum ABC datum demittatur perpendicularis EODB; jungatur HE, et rectangulo BED fiat equale rectangulum HEG; dabitur itaque punctum G.

Datis tribus punctis H, G et M et piano ABC, quæratur sphæra, per secundum problema hujus, quæ per data tria puncta transeat et planum ABC datum contingat. Sphæra ilia satisfaciet proposito: transit quippe per data duo puncta FH et M, et planum ABC tangit ex constructione; sed et sphæram DFE contingit, ex quinto lemmate. Nam quum rectangul-um HEG auquctur rectangulo BED, omnis splhera quas, per data duo H et G puicta tlransiens, planum ABC tangit, sphlwram quoque DEF contingit.

Fig. 62.
Problema IX.

Datis duobus punctus et duabus sphæris, invenire sphæram quæ per data duo puncta transeat et sphæras datas contingat.

Fig. 63.

Sint datæ duæ sphæræ AB, DE (fig. 63) et puncta diata H et M. Tra jiciatur recta AF per centra sphaerarum datarum, et

ut radius AB ad radium DE, ita fiat recta BF ad FE;

dabitur punctum F. Fiat rectangulo NFA. aequale rectangulum: FG; dabitur punctum G.

Jam datis tribus M, G, H punctis et sphæra DN, quæratur sphæra quæ per data tria puncta transeat et sphæram DN datam contingat, cui problemati satisfaciet tertium problema hujus: continget qu oque sphæram <’ AB > ex tertio lemmate, ideoque proposito satisfaciet.

Problema X.

Dato puncto, duobus planis et sphæra, invenire sphæram quæ per datum punctutm transeat et sphæram ac data duo plana contingat.

Sint duo plana AB, BD (fig. 64), sphæra EGF, punctum II. Per punctum O, centrum sphawre datse, in quodlibet ex planis demittatur perpendicularis CEOF, et rectangulo CFE fiat æquale rectangulum HFI.

Fig. 64.

Datis duobus punctis H et I et duobus planis AB, BD, qulalratur, pel’ septimum problema hujus, sphlera quce per data duo puncta transeal et duo plana data contingat: continget quoque ex quinto lenm.ate sphseram, et proposito satisfaciet.

Problema XI.

Dato punceo, plano et duabus sphæris, invenrire sphæram quæ per datum punctum transeat et planum ac sphæras duas datas contingat.

Deducetur statim quaystio simili præcedentibus ratiocinio ad problema VIII, Datis duobuspunctis, plano et sphæra, idque beneficio lemmatis V. Quod si libeat uti lemmate III, deducetur quæstio pariter ad idem problema, alio medio et alia constructione.

Problema XII.

Dato puncto et tribus sphaeris, invenire sphaeram quae per datum punctum transeat et sphaeras datas contingat.

Huic quoque figuram non assignamus: statim quippe, beneficio lemmatis III, deducetur qutsstio ad problema IX, Datis duobus punctis et duobus sphaeris etc.

Problema XIII.

Datis duobus planis et duabus sphæris, inventire spæram quæ data plana et sphæræ contingat.

Sit factum. Si ergo sphleric superficiei inventtc imaginemur aliam ejusdem centri superficiemn parallelam, que a qutsita distet per radium minoris ex sphæris, tanget hæc nova superficies sphærica plana quæ a datis distabunt per intervalluln ejusdem radii minoris ex sphleris; tanget quoque sphiaram cujus radius distabit a radio majoris spblere datœ per idem radii minoris intervallum, queque erit majori spherm concentrica. Dabitur ergo; dabuntur et duo plana datis parallela et per radium minoris ex sphalris ab ipsis distantia. Transibit et hæc nova superficies sphærica per centrum minoris ex spheris datis, quod quidem datum est; pari igitur quo usi jam sumus in problemate VI artificio, deducetur quæstio ad problema X, Dato puncto, duobus planis et sphæra, invenire etc.

Problema XIV.

Datis tribus sphæris et plano, invenire sphæramn quæ sphæras et planum datum contingat.

Simili qua usi sumus via in prsecedente et sexto problemate, deducetur quæstio ad problema XI, Dato puncto, piano, et duabus sphæris etc.

Problema XV.

Datis quatuor sphæris, invenire sphæram quæ datas contingat.

Sit factum: et, qua usus est methodo Apollonius Gallus ^[7] ut problema de tribus circulis ad problema de puncto et duobus circulis deduceret, eadem et simili præcedentibus famosur hoc et nobile problema ad XII, Datis tribus sphæris et puncto, deducemus.

Constabit ex omni parte propositum, et illustre accedet Apollonio Gallo complementum. Casus varios, determinationes, et minuta negleximus, ne in immensum excresceret spllericus de contactibus tractatus.

1. Voir plus haut, page 3: note 3.
2. On a conserve, pour les figures de ce Traité, qui représentent des constructions dans l'espace, le mode de traces suivi dans l'édition des Faria, quelque diffdrentos qule soient a cet egard les habitudes modernes.
3. Theodosii Tripolitæ Sphæricorum Libri tres, nusquam antehac grece excusi. lidem latine redditi per Joannem Penam, Regium Mathematicum. - Ad illustrissimum principiem Carolum Lotharingum cardinalem. - Paris, Andr6 Wechel, i558. - (Fermat cite ici le corollaire de I, 2.)
4. Probl. II (Viète, édition Schooten, page 326).
5. Probl. VIII (Viète, édition Schooten, p. 333).
6. Viète (édition Schooten, pages 334-335, lemmes I et II) démontre seulement, de fait, que APQ = DPO et GPH = EPL. Mais l'égalité APQ = GPH se déduit aisément de l'hypothèse ${\frac {AC}{HM}}={\frac {CP}{MP}}$.
7. Probl. X (Viète, édition Schooten. p. 356).